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2018年全国2卷理科数学试卷及答案
2018年全国2卷理科数学试卷及答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
全国2卷数学（理科）

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．（ )
A． B． C． D．

2．已知集合,则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4

3．函数的图象大致是（ )

4．已知向量满足，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心力为，则其渐近线方程为( ）
A． B． C． D．
6．在中,，，则=( ）
A． B． C． D．

7．为计算，设计了右侧的程序框图，
则在空白框中应填入( ）
A．
B．
C．
D．

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ）
A． B． C． D．

9．在长方体中,，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．

10．若在是减函数，则的最大值是( )
A． B． C． D．

11．已知是定义域为的奇函数,满足．若,则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点,点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ )
A． B． C． D．

二、填空题,本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．若满足约束条件，则的最大值为_________．

15．已知，，则__________．

16．已知圆锥的顶点为，母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）
记为等差数列的前项和,已知,．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．

18．(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元）的折线图．

为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量的值依次为）建立模型①:：根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②:．
（1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）
设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于两点。．
（1)求的方程;
(2）求过点且与的准线相切的圆的方程．

20．（12分)
如图,在三棱锥中,，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：当时，；
(2）若在只有一个零点,求．

（二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一部分计分。
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,直线的参数方程为(为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率．

23．【选修4—5：不等式选讲】（10分）
设函数．
(1）当时,求不等式的解集；
2）若，求的取值范围．

参考答案部分
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
B
A
A
B
C
C
A
C
D
12。解：
二、 填空题
13. 14。 9 15。 16.
16。设母线长为a,

三、 填空题
17.解：（1)由可得:，所以，所以
（2）
18。解:（1）①，
（2)对于模型①，当年份为2016年时，
对于模型②,当年份为2016年时，
比较而言,②的准确度高，误差较小,所以选择②
19。解：（1）∵F（1,0），设直线，联立

，∵，∴k=1,所以直线方程
（2） 设AB的中点为N(），设圆心为M（a,b），所以圆的半径r=a+1
因为,所以MN的方程为,即
所以，由垂径定理：
即：解得：
所以圆的方程为：和

20。证明:连接BO,因为AB=BC,则BO⊥AC，所以BO=2
又因为在△PAC 中，PA=PC=4，所以PO⊥AC，且，因为,
所以PO⊥BO，从而平面;
(2)以为x轴，以为y轴，以为z轴，设，B（2,0，0)，C（0,2,0）A(0，—2,0）
P(0，0,），设M（x,y,0）,所以，所以
设平面PAC的法向量为，设平面MPA的法向量为，所以

因为二面角为，所以得
设与平面所成角为，所以
21解：（1）当a=1，
当，所以
所以，所以
（3） 令，令，
当,
所以
①当
②当
③

22.（1）曲线C的直角坐标方程：
直线L直角坐标方程:
(2) 联立与

所以
23。（1）当时，，所以不等式的解集为
(2）若，则，因为
所以只需要
综上：a的取值范围为