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2013年理科数学全国卷2卷
2013年理科数学全国卷2卷

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16

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（全国新课标卷II）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1）已知集合M＝{x｜（x－1）2＜4，x∈R},N＝{－1，0,1,2,3},则M∩N＝(　　)．
A．{0，1,2｝ B．{－1，0,1,2} C．｛－1,0,2，3｝ D．｛0,1，2，3}
2．(2013课标全国Ⅱ，理2）设复数z满足(1－i）z＝2i，则z＝（　　）．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ,理3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)．
A． B． C． D．
4．(2013课标全国Ⅱ，理4）已知m,n为异面直线，m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n，lα，lβ，则（　　）．
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
5．（2013课标全国Ⅱ,理5)已知（1＋ax)（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（　　）．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(　　)．

A．
B．
C．
D．
7．(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是（1,0，1），(1,1,0），(0，1，1），(0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　）．

8．(2013课标全国Ⅱ，理8）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　)．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．（2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（　　）．
A． B． C．1 D．2

10．（2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（　　）．
A．x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f(x）的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（－∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x)的极值点，则f′x0）＝0
11．（2013课标全国Ⅱ，理11）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上,|MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2），则C的方程为（　　）．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12）已知点A（－1，0)，B(1,0)，C（0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　）．
A．(0，1） B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则＝__________。
14．（2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝__________。
15．(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________.
16．（2013课标全国Ⅱ,理16）等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S10＝0,S15＝25，则nSn的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b,c，已知a＝bcos C＋csin B。
（1）求B；
（2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．（2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝。
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

19．（2013课标全国Ⅱ,理19）（本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1)将T表示为X的函数；
(2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈［100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入［100，110）的频率）,求T的数学期望．
20．（2013课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1)求M的方程；
(2)C,D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值．

21．(2013课标全国Ⅱ，理21)（本小题满分12分）已知函数f（x)＝ex－ln(x＋m）．
(1）设x＝0是f（x)的极值点，求m，并讨论f(x）的单调性；
(2）当m≤2时，证明f(x)＞0。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图,CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D,E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF,B，E,F,C四点共圆．
（1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
（2)若DB＝BE＝EA，求过B,E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．（2013课标全国Ⅱ，理24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明:
(1)ab＋bc＋ac≤；
（2）.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案:A
解析：解不等式(x－1）2＜4,得－1＜x＜3，即M＝{x｜－1＜x＜3｝．而N＝{－1,0,1，2，3}，所以M∩N＝{0，1,2}，故选A.
2．
答案：A
解析:＝＝－1＋i.
3．
答案：C
解析：设数列{an｝的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1。
∵q≠1时,S3＝＝a1·q＋10a1,
∴＝q＋10，整理得q2＝9。
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
4．
答案：D
解析:因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α。同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D。
5．
答案：D
解析：因为(1＋x）5的二项展开式的通项为（0≤r≤5，r∈Z），则含x2的项为＋ax·＝（10＋5a）x2，所以10＋5a＝5，a＝－1。
6．

答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；
当k＝2时，，;
当k＝3时，，；
当k＝4时，,；…；
当k＝10时，，,k增加1变为11，满足k＞N,输出S，所以B正确．
7．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A。
8．
答案：D
解析:根据公式变形，，，，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a。故选D。
9．
答案：B
解析:由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为（1，－1），结合题意知直线y＝a(x－3）过点（1，－1)，代入得，所以。
10．
答案：C
解析：∵x0是f（x）的极小值点，则y＝f(x）的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．

11．
答案：C
解析：设点M的坐标为(x0，y0），由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－。
又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为（x－x0）＋(y－y0）y＝0。
将x＝0,y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由＝2px0,得,解之得p＝2，或p＝8。
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x。故选C.
12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．
13．答案：2
解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0）,点B的坐标为（2,0），点D的坐标为（0,2)，点E的坐标为（1，2），则＝（1,2)，＝(－2,2)，所以.

14．答案：8
解析：从1,2，…,n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有（1，4），（2,3）2种，所以，即，解得n＝8.
15．答案：
解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ。
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1,得.
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝,sin θ＋cos θ＝.
16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①
S15＝＝15a1＋105d＝25。②
联立①②,得a1＝－3,，
所以Sn＝。
令f（n）＝nSn，则,。
令f′(n)＝0，得n＝0或.
当时，f′（n）＞0,时，f′(n）＜0,所以当时，f（n）取最小值，而n∈N＋，则f（6）＝－48，f（7)＝－49,所以当n＝7时，f（n）取最小值－49。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解:（1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－（B＋C），故
sin A＝sin（B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和C∈(0,π）得sin B＝cos B，
又B∈(0,π)，所以.
（2）△ABC的面积.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－.
又a2＋c2≥2ac,故，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为.
18．
解：(1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝得,AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz。

设CA＝2,则D（1，1，0），E(0,2,1)，A1（2，0,2）,＝(1,1，0)，＝(0,2，1),＝（2,0，2）．
设n＝(x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量,
则即
可取n＝(1,－1，－1）．
同理,设m是平面A1CE的法向量，
则可取m＝(2，1，－2)．
从而cos〈n，m>＝，
故sin〈n，m〉＝.
即二面角D－A1C－E的正弦值为。
19．
解:（1)当X∈[100，130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000，
当X∈［130,150］时，T＝500×130＝65 000。
所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150。
由直方图知需求量X∈[120，150］的频率为0。7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0。7。
（3）依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0。1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0。2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
20．
解:(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2），P（x0，y0）,
则，，，
由此可得.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，
所以a2＝2b2.
又由题意知,M的右焦点为(，0）,故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为.
(2)由
解得或
因此｜AB|＝。
由题意可设直线CD的方程为
y＝，
设C（x3，y3)，D（x4，y4）．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0。
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1,
所以｜CD|＝。
由已知，四边形ACBD的面积.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为。
所以四边形ACBD面积的最大值为.
21．
解:（1f′（x）＝。
由x＝0是f（x）的极值点得f′(0）＝0，所以m＝1。
于是f（x）＝ex－ln(x＋1)，定义域为（－1，＋∞)，f′(x）＝.
函数f′（x)＝在（－1，＋∞）单调递增，且f′(0)＝0。
因此当x∈（－1，0）时，f′（x)＜0;
当x∈（0，＋∞）时，f′(x）＞0.
所以f(x）在（－1，0）单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
（2)当m≤2，x∈(－m,＋∞)时，ln（x＋m)≤ln(x＋2）,故只需证明当m＝2时,f（x）＞0.
当m＝2时,函数f′(x)＝在(－2，＋∞）单调递增．
又f′（－1）＜0,f′（0）＞0,
故f′（x）＝0在－2,＋∞)有唯一实根x0,且x0∈（－1,0)．
当x∈(－2，x0）时，f′（x）＜0；
当x∈(x0，＋∞）时，f′(x）＞0,从而当x＝x0时,f（x)取得最小值．
由f′(x0）＝0得＝,ln（x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.
综上，当m≤2时，f(x）＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．
解:(1）因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，由题设知，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA。
因为B,E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°。
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2）连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为。
23．
解：（1)依题意有P（2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M（cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α）．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
（2）M点到坐标原点的距离
(0＜α＜2π）．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．
解：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
（2)因为，，，
故≥2(a＋b＋c)，
即≥a＋b＋c。
所以≥1。