数学建模--开放式基金投资问题[1].doc

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B。开放式基的金投资问题
摘要
本文针对某开放式基金现有总额一定的问题，就四种不同的情况，建立了四个投资的线性或非线性规划模型，并对非线性问题进行了成功的线性化处理,通过运用lingo软件并利用穷举法得出结果，求的最大的利润和相应的投资方案。
在问题1中，我们建立了标准的线性规划模型，应用lingo软件得：项目的投资次数分别为6、2、0、5、6、2、6、6次，最大利润为44149万元
问题2(1)，考虑8个项目中每个都可重复投资,但每个项目投资总额有个上限,且具体对这些项目投资时,会出现项目之间的相互利润影响.在问题一基础上,建立非线性规划模型，经过分类讨论，对非线性问题进行了成功的线性化处理，通过lingo软件，运用穷举法得出7种方案，比较7种方案的结果为项目的投资次数分别为1，0,7,5,6,5，6,6次，最大利润为42975.50万元。
问题2(2），在问题二的基础上，建立双目标非线性规划模型，可以将此模型转化为以风险度的变化作为约束条件，以最大利润为目标函数的单目标的线性规划模型。通过Lingo可以得出不同风险度上最大利润的最优解的数据，并用Matlab可以作出图像，再根据图表的分析，可以得出最优方案；
的投资次数分别为0，4，7,1,6,6，6,6次
在问题2(3）中，要保留一部分基金，考虑到保留资金对投资的影响,因此引入资金保留比例系数，在问题三是上通过修改投资总额，调用问题三的程序可以得出在不同资金保留比例系数下的最优方案，把这些方案用Lingo软件作出图表，通过对图表的分析得出最优解为：项目的投资次数分别为0,5，3，0，2，1，6，6。

关键：双目标非线性规划 投资风险度 保留资金系数 符号函数

一． 问题重述
某开放式基金现有总额为15 亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择。每个项目可以重复投资(即同时投资几份),根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高,且有个上限。这些项目所需要的投资额己经知道，在一般情况下，投资一年后各项目所得利润也可估计出来，见表1：
表1 投资项目所需资金及预计一年后所得利润
单位:万元
项目编号

每份投资额
6700
6600
4850
5500
5800
4200
4600
4500
预计利润
1139
1056
727.5
1265
1160
714
1840
1575
上限
41000
33000
34000
29000
35000
26000
27000
25000
请帮助该公司解决以下问题：
l、就表1提供的数据,试问应该选取哪些项目进行投资，使得第一年所得利润最大？
2、在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。公司在咨询了有关专家后,得到如下可靠信息：
l）如果同时对第1个和第3个项目投资；它们的预计利润分别为1005万元和1018．5万元;
2）如果同时对第 4、5个项目投资，它们的预计利润分别为 1045万元和 1276万元；
3）如果同时对第2、6、7、8个项目投资，它们的预计利润分别为1353万元、840万元、1610万元、1350万元；

将上面的（1），（2)，（3)三条信息综合一下，因此，他们投资次数与利润关系归纳如下表2:

表2.项目投资时,实际出现的项目之间利润的相互影响

4）如果考虑投资风险，则应该如何投资使得收益尽可能大；而风险尽可能的小。投资项目总风险可用所投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出的投资项目风险损失率为 ，数据见表3.

表3 投资项目的风险损失率
项目编号

风险损失率

(％）
30
14.5
22
30
33
5。5
39
33

由于专家的经验具有较高的可信度，公司决策层需要知道以下问题的结果：
(l）如果将专家的前3条信息考虑进来，该基金该如何进行投资呢?
（2）如果将专家的4条信息都考虑进来，该基金又应该如何决策？
（3）开放式基金一般要保留适量的现金，降低客户无法兑付现金的风险。 在这种情况下,将专家的4条信息都考虑进来.那么基金该如何决策，使得尽可能地降低风险，而一年后所得利润尽可能多？
二． 问题分析

对于问题一,为使的第一年的利润最大，建立线性规划模型，考虑到每个投资项目存在投资额上限以及资金总额的限制，运用线性规划求的第一年利润最大值。然后考虑，具体项目投资时存在利润上的相互影响，在问题一的条件上，运用非线性规划，用穷举法，在Lingo软件上求出问题二的条件约束下的最优化方案.在添加投资风险因素后,同时考虑问题二的条件，建立双目标规划模型，求解双目标，即利润最大，投资风险最小。为了简化问题，把双目标化为单目标，即固定投资风险,进行但目标求解.最后一个问题，要保留适量现金，降低客户无法兑现现金的风险，考虑所有因素时，具体保留现金多少，是个难以确定的问题，其实这个问题就是在投资最少的条件下，风险率最小，利润最大。
三． 模型假设
（1）不考虑投资所需的投资费，交易费；
（2）假设投资项目利润，投资风险率不受外界因素影响；
（3)虽然要求投资风险最小，但不考虑对单目标进行投资；
（4)在投资过程中，不考虑政策,政府条件对投资的影响；
（5）在利润相同的情况下，投资人对于每个项目的投资偏好是一样；
（6）不考虑保留资金以存款的形式获得的利润
四． 符号说明
（i=1...8） 所投资的8个项目第i个投资项目；
(i=1…8） 第i个投资项目的投资份数；
（i=1…8） 当考虑投资的相互影响时第i个投资项目的所获利润;
（i=1….8） 第i个投资项目的投资风险；
投资项目的风险度；
（i=1…8）第i个投资项目的每份投资成本;
(i=1…8) 第i个投资项目的所获利润；
投资保留系数；
投资所获总的利润

五． 模型的建立与求解
模型一：
就投资的8个项目,要取得第一年利润最大,即求目标函数Y=的最大，建立模型如下：
约束条件:
略
模型结果：

通过lingo解出该线性规划模型的结果,如下表（表4）
表4 第一年投资项目次数，投资总额，最大总利润

总利润（万元）
投资次数
6
2
0
5
6
2
6
6

利润（万元）
6835
1056
727。5
6235
6960
1428
9914
9875
44149
总投资（万元)
178700

模型二：
考虑投资项目之间存在利润的相互影响，投资数目的多少会产生利润的变化。根据题意可知,有3个投资条件的约束，有排列组合知识可知，共有7种情况可求出最大利润,由lingo获取7中方案的结果，通过比较，可知最大利润时的投资方案。投资项目次数=1,=，0=7，=5，=6,=5, =6,=6第一年获得最大利42975.50万元。

模型三：
在问题二的基础上，考虑投资风险。投资要求风险最小，利润最大。处理该双目标函数，将风险度作为约束条件，不断改变风险度的数值，将双目标化为单目标函数，求出在不同风险度的情况下利润最大值

建立目标函数模型

（注：分段函数)

约束条件：略
不停的变化，分别求利润最大
(i=1…8），且它为整数;
其中风险度变化范围：0.07到0.37，用Lingo求解如下表（表5）：

表5 风险度和利润的变化关系

0.07
4200
0
0
0
0
0
5
0
0
0。08
4200
0
0
0
0
0
5
0
0
0。09
5553
0
1
0
0
0
5
0
0
0.1
6909
0
2
0
0
0
5
0
0
0。11
8259
0
3
0
0
0
5
0
0
0。12
9612
0
4
0
0
0
5
0
0
0.13
10630
0
4
1
0
0
5
0
0
0.14
11649
0
4
2
0
0
5
0
0
0。15
13680
0

4
4
0
0
5
0
0
0。16
15723
0
4
6
0
0
5
0
0
0.17
17073
0
4
6
0
0
5
0
1
0.18
18423
0
4
6
0
0
5
0
2
0.19
19773
0
4
6
0
0
5
0
3
0.2
21383
0
4
6
0
0
5
1
3
0。21
23518
0
4
6
1
0
5
0
5
0.22
25839
0
4
6
2
1
5
0
5
0.23
28263
0
4
6
4
0
5
1
5
0。24
30878
1
4
6
4
0
5
2
5
0.25
33764
1
4
6
4
1
5
3
5
0。26
35979
0
4
6
4
1
5
5
5
0。27
36364
0
3
6
2
4
5
5
5
0.28
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。29
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。3
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0.31
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。32
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0.33
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。34
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。35
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。36
36595
0
3
6
1
5
5
5
5
0。37
36595
0
3
6
1
5
5
5
5

将风险度和利润的变化关系用Matlab作图见（图1)

图1 风险度和利润的变化关系的曲线图
项目投资次数=0,=4,=7,=1，=6,=6,x7=6,=6，此方案为最优方案；

模型四：
模型四中，考虑保留基金的一部分，降低兑付客户现金的风险。引入投资保留系数，变化范围为0。1到1，再依据风险度变化范围，在模型三基础上，考虑保留一部分现金后，我们建立如下模型：
建立目标函数模型
；
（注:分段函数)
约束条件：略
（i=1…8），且它为整数；
计算得，项目投资次数=0,=5，=3,=0,=2，=1，x7=6，=6,此方案为最优方案;

六． 模型的评价
优点：
（1）问题在解答过程中，引用线性思想，更富有数字信息明了,成功运用数学软件把问题解决掉
（2）对于问题二的项目间利润的影响，虽然情况复杂，通过引入穷举法思想，将所有情况逐一讨论,获取最优方案。方法简单易懂。
（3）在处理基本保留适量现金以预防客户兑付现金时，在客户兑付现金情况不清楚的情况下，通过求解投资额最小，所得利润最大，承担的总风险最小的转化，避免了保留适量现金数目的讨论，简化了模型，求解也方便了.

缺点：
（1）模型理想化,将政府政策等外界条件因素不予考虑
（2）这个模型建立得比较简单，而且存在一定的误差. 在公式的推导过程中可能有错误，并且对客户想要提前还清贷款或想要延迟还贷款的情形没有进行讨论,这使得模型有缺陷，不够完善.

八.模型的推广
此模型关于风险投资问题，可以用于实际生活中的投资股票，购买彩票，人力资源配置，物资的分配等问题.

参考文献：
(1）姜启源． 数学模型(第三版)［M]． 北京. 高等教育出版社, 2003
(2)刘琼荪,龚劬，何中市，傅鹂,任善强，数学实验,北京：高等教育出版社，2004
（3） 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2006
（4）赵东方，数学模型与计算，北京:科学出版社,2007
(5)钱颂迪等,运筹学，北京：清华大学出版社，2008
（6）张志涌等,精通6.5版，北京:北京航空航天大学出版社，2002
（7）袁新生 《Lingo和Excel在数学建模中的应用》北京 科学出版社 2007。
等