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数学教师基本功自测120题
（其中: 数学观方面10题，教学观方面10题，数学功底方面100题.）

“双基教学”是我国半个多世纪数学教学经验的荟粹和升华，是具有中华优秀文化特征的东亚数学教育的核心内容之一.但是，为了做好“双基"教学,教师就要有必要的基本功.什么样的基本功？怎样获得这样的基本功？早在20世纪的90年代,我们就提出21世纪的数学教师，要进行观念、知识、能力三项更新,对原有的“基本功"，不仅要恢复、保持,而且须进行更新、扩展、提升.要致力于做新三型（即学习型、研究型、反思型）教师。
现在，我们从某些方面提出几道测试题,供有兴趣的老师研究和自测之用.
一、关于数学史和数学哲学（数学观）方面的
1。为什么说“数学系统是一个和谐的体系”？在数学的历史上，曾经克服过哪些不和谐？是怎样克服的?
2.“和而不同”的思想，“自知自限"的思想,“环境友好”的思想，“不断创新"的思想，“唯物辩证”的思想，在数学中是怎样体现的？
3.在课堂上，如果遇到下列问题,将如何应对:
（1）老师：为什么、０．３２、－、8、０．９９…等，叫做有理数？它们有什么理?难道就没有道理吗？
（2）0为什么不能做除数、做分母?如果说是“规定”,为什么这样规定?
（3)０ .９９…=1是真等式还是近似等式？
（4）自然数多还是偶数多呢?
(5）3+2=8是不是等式呢？
（6)上课了,老师写出课题:“三角形的内角和”，一个学生举手起立:“老师,三角形内角和等于,我们在小学就学过了。不信，您就画一个三角形量一量，或用纸做一个三角形,剪开,把三个角拼在一起，一定是1800。"下边，“老师”该怎样应对?
（7）一个学生在解题时,写出：.老师给判了一个大大的“×”之后说:“简直是乱弹琴!”您怎样评论此事？
（8）一个学生问老师：“一张四边形的纸，剪去一个角还剩几个角?此题的答案是3、4或5.那么,
4－1=3是不是还成立呢?"老师应如何回答?
4。数学是归纳体系、演绎体系，还是归纳—演绎体系（或问“数学的本质是什么”）？
5.你知道波利亚的《解题表》吗？怎样认识它?为什么说“波利亚的解题表可以诊治(数学学习中的）‘学习病'”？
6什么是数学的（理性）精神?
7你具有怎样的“无穷观”?
i）如果你认为自然数1，2，3,4，…数下去，永远数不完，任何无穷集N、Q、R等，都并不真实存在，.
“”是趋于无穷大的过程，永远不会结束，求极限只能得到近似值。那么，你就是潜无穷观.
ⅱ）如果你认为全体自然数﹛1，2,3，…﹜可以拿来构成一个集合，“”这个过程可以完成，你就是实无穷观。
8.数学是什么?它研究的对象是什么?它的特点是什么?它是由概念、公式、法则、定理等结论组成,还是由“思维活动过程”组成?你怎样看“问题是数学的心脏”这个说法？
9.你在教学之余,做一点初等数学研究吗?你怎样看待“初等数学”（它是正在蓬勃发展中的学科,还是山穷水尽、资源枯竭的学科)？怎样看待20世纪80年代以来我国初等数学研究事业的发展和所取得的丰硕成果?
10.有一位数学教授，叫做赫什的说：“问题并不在于教学的最好方式是什么,而在于数学到底是什么,…，如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议."你怎样看待这句话？你认为，数学哲学的学习思考与数学研究的经历对教学会有何助益?
二。 关于教学观与学生观方面的。
1. 你怎样评价20世纪80年代以来我国实施过的一些数学教育改革实验？如“自学辅导法"、“六课型单元教学法"、“读读议议讲讲练练教学法”、“尝试指导、效果回授教学法”、“目标教学法”、“MM教育方式”、“TEC教学方式”“高效、和谐（GH）的数学教育方式"等。
2。你怎样认识“学生为主体、教师为主导"的二主方针?
3.什么是“东亚数学教育”?它与西方数学教育有何异同?
4。你怎样认识“学生交、老师判”这种数学作业处理方式?它给师生带来的各是什么?
5.为什么说“数学有技术教育功能、文化教育功能和提升身心健康水平的功能”？
6.当前报刊上提出的“备课（订课时计划)”和“教学设计”有何异同？
7。你写“教学后记”吗?“教学反思”对教师成长成熟有何意义？
8.你认为做“学习型教师"、研究型教师”、“反思型教师”有无必要?
9。“CAI”（计算机辅助教学）的提法合适吗？
10。你怎样评价“三年课、两年完,一年搞训练”这种教学安排?
三。 数学功底方面的
1至少用三种不同的方法证明“勾股定理”（达到10种以上更好）.
2。把命题“平面上不存在两两垂直的三条直线”改写成“如果…，那么…"的形式.
3设a,b，c为空间三直线,若a∥b,b∥c，证明：a∥c.
4什么是数学中的“关系"？“表示相等关系的式子叫做等式”这个定义有什么问题吗？你怎样评价“用等号连接两个解析式所成的式子叫做等式"这个定义？(参看后面的53题）
5。设的运算法则。(可建立实际模型，给出定义，然后解答下面的第6题。)
6.设试证：

7。什么是“凸多边形”?试证：三角形、平行四边形、梯形、正多边形都是凸多边形.
8.求出100以内的素数(质数）。
9.试把判定三角形全等的三条“公理"：SAS，ASA,SSS作为定理加以证明.
10。试证：三条线段能构成三角形的充要条件是

11.试严格推导平行四边形面积公式。
12.试推导三角形的秦九韶-海仑面积公式。
13.试讨论方程组
解的各种情形及其与二直线
对应的位置关系,并写出求解公式.
14。设为三个平面。讨论方程组

的解的情况，画出想要的的位置关系图,并写出各种情况下有解的充要条件和求解公式.
15。严格推证一元二次方程的求根公式（避免被认为误用了错误公式。
.
16。什么是“算术基本定理”?怎样证明？
17.什么是代数基本定理?证明的大致思路是什么？
18。试证是无理数。
19。试证：素数有无限多个.
20。试证:（三维）空间不存在两两垂直的四个平面。
21试严格完整地证明两点之间的距离公式:

22。至少用三种方法证明点到直线的距离公式:

23。试严格证明解析几何中三角形面积公式：

其中,的顶点坐标为而内层“"表示行列式,外层“”表示绝对值.
24。试证定比分点坐标公式。
25。试叙述一元二次不等式的配方解法。
26。怎样比较两条线段的长短？
27。怎样比较两个角的大小？
28.试证：数学归纳法最小数原理（任意自然数集合都有最小数）。
29。试证：直线总把平面分成三部分:一侧和另一侧。并说明判定方法。
30.试证：六个三角比都是角的函数。
31试证明三角形六心（内、外、重、垂、旁和九点圆心）定理。
32。试证“圆幂定理”：设P为所在平面内任意一点,过P的直线交于M，N(当M、N重合时为切点）。设OP=d，则

33.运用类推法叙述“球幂定理”,并证明之。
34.应用“球幂定理”证明圆锥嶻线的三个轨迹定理。
35.试证：到等腰三角形两腰的距离之和为定值的点的轨迹，是它的底边的平行线。
36。试证：等边三角形内部或边上任意一点,到三边的距离之和为定值。并且把此命题推广到：（1）正四面体；（2）等面四面体；（3)任意三角形（提示：设点P到各边距离分别为则为定值）并证明之。
37。严格证明正弦定理：设R为外接圆半径，则
。
38.严格证明余弦定理.
39．叙述并证明直角四面体的勾股定理。
40.严格证明：三棱锥的体积V=×底面积×高（提示：先用祖暅原理，证明等底等高的锥体，体积相等。再对三棱柱进行等积剖分）。
41。设外一点，分别为P在上的射影和关于的对称点，试推导T和Q的坐标公式。
42。将41题推广到空间。
43。试问：“在平面上,A，B,C，D四点共圆的充要条件是:
相等或互补”，这个命题对吗？为什么？
44。设为复数，试证，他们的加法和乘法符合三律:
交换律、结合律和分配律。
45.试证：集合的交和并适合三律.
46.试证：向量的加法和数乘向量适合三律。

47.试证：向量的点乘（数量积）适合交换律，点乘对加法适合分配律。
48叙述并证明平面向量基本定理.它的意义如何?
49。叙述并证明空间向量基本定理。试把它推广到n维空间.
50.请用两种方法(数学归纳法和组合法)证明二项式定理。叙述并证明它的推广(多项式定理）.
51.至少用两种方法证明直线与平面垂直的判定定理。
52。试归纳出中学阶段完整的平行、垂直角和距离四大概念。
53。设X，Y为两个集合，中的变元，在含有变元的命题中，如果分别以X，Y中的元素代替，的真假是可以判定的,那么，叫做关系或二元关系。常记做。也叫做关系式。特别，符合如下三个条件的,叫做等价关系:
i）若则； ii); iii)若。
试总结中小学数学中的“关系”，其中哪些是等价关系？
54。试总结中小学阶段学习研究过的运算和变换。
55。用数学归纳法证明等差与等比数列的通项公式。
56。用数学归纳法证明，若为等差数列，则前n项和
.
若是公比为q的等比数列，则前n项和

57.设为无穷递縮等比数列，S表示它的各项（即所有项)的和，试证
.
58.用两种方法(方程法，公式法）化下列小数为分数：

通过以上实例，归纳出将纯和混循环小数化成分数的法则。
59。在线段AB上求一点C，使得（黄金比），试求黄金比h的值。
60.把展开为连分数：

设

(1）写出之间的关系式.
（2）记试写出数列的前10项，并证明:

(3）求数列的通项公式。
（4）证明。
61。设某人1月初买了一对“妙兔”：它们（大兔）每月生一对小兔，小兔过一个月就长大，问到12月份,此人共有多少对兔子?
62。试证：正五边形对角线相互分成黄金比。
63。日常用的矩形紙，看着很“顺眼”,因为它有再生性：对折之后长宽比不变,故称为标准规格纸。求标准规格纸的长宽比。
64.试写出如下数列的各一个通项公式：
（1）0,1，0,1，0，1，…
（2）0,0,1，0，0，1,0,0，1，…
（3）0，0，0，1,0，0，0，1，0，0,0，1，…
65.求所有等差—等比数列。
66。设第边形数为的解析式.（如。
67。已知二次函数的图象过点（—1，0），（1,2),（2，1）.试用待定系数法(方程组）求它的表达 式。
68。所谓孙子—华罗庚插值法是指：欲求n次多项式 步骤是
（1）先求满足多项式:

(2)同样可知

可见：，于是
（*）
即为所求。（*）就叫做孙子—华公式。试用公式(＊解第67题。
69。在数列极限的定义中，一共有3种推理。是哪3种推理？分别用在了那个环节？
70.试记住(黄金比)的各前10位小数值。知道的率约和密率以及它们的连分数来历。
71.叙述并证明三角形的九点圆定理.
72。什么是欧氏几何尺规作图“三大不能问题”?说一下证明的思路。
73由等差数列为经纬编织的数阵，它的行、列都是等差数列。设第行公差为,第j列公差为，那么,也都是等差数列，且公差相同。请予以证明。
74.试证：（1）三条直线两两相交，或交于三点，或交于一点；（2）三个平面两两相交,或交于一条直线，或交于三条直线（当交于三条直线时,三条交线或平行或共点）或交于一点。
75。（1)画出三个平面所有可能的位置关系图（不包括重合）；(2）画出四个平面所有可能的位置关系图（不考虑重合）。
76.归纳研究：(1)平面上n条直线(不考虑重合）的位置关系情况数;（2）n个平面（不考虑重合）位置关情况系数）。
77。总结归纳：中小学数学中，有哪些“原理”？ 它们各是什么（公理、定理、归纳结论）？
78.A,B,C，D为（平面或空间）任意四点,若。试证明之。
79。至少用三种方法，证明算术—几何平均不等式：设n个正数，则

其中读作“当且仅当……时等式成立”。
80。试证如下“柯西不等式 "：。则

（如可用数学归纳法二次方程判别式法等)。
81。设
.
82。证明如下“小等周定理”：
（1）在周长相等的所有三角形中，正三角形面积最大；
（2）在面积相等的所有四边形中,正方形周长最小;
(3）在周长相等的所有n边形中，正n边形面积最大;
（4）在面积相等的所有n边形中，正n边形周长最小。
（5）能否证明：(3)（4）？
83。叙述“等周定理”的两种对偶形式，证明它们是相互等价的;并进而说明等周定理证明的大体思路.
84. 举例说明；什么是优选法？
85。 举例说明;什么是统筹法？
86。 什么是线性规划？
87。设,试证如下命题：
（1)
(2） 不都为0（至少一个不为零）
（3） .
(4) 中至少一个为0。
(5） 研究上述四个命题（1）(2）（3）(4）之间的关系，并举例说明。
88.以表示A（在全集I中)的补集，证明如下“摩根律”：
89。 以A,B等表示“命题"，分别表示“或”，“且”，“非A”,下面是或、且、非的真值表
（其中，Z表示“命题真",J表示“命题假”)：
A
B
A∨B
A∧B
Z
Z
Z
Z
Z
J
Z
J
J
Z
Z
J
J
J
J
J

A

Z
J
J
Z

根据真值表证明：

90。 以表示命题“若A则B”。试构造“”的真值表（可补在89题真值表的后面）。 并
依之证明：
91。 以表示的共轭复数。证明:

92 .以表示方程的解集,表示方程的解集，表示方程组
的解集。试证：

93. 求1000以内，同时能被2、3、5整除的数的个数和能被2、3、5中至少一个整除的数的个数。
94. 设G是一个非空集合。如果
ⅰ）它有一个二元运算“”：.
ⅱ) .
ⅲ） 存在单位元“e”,使得。
ⅳ).
则称为一个群.如果
ⅴ)“”满足,
则称为交换群或加群.试证：⑴ 有理数集关于“+”构成群；⑵正实数集关于“×"构成交
换群。
95。试举出两个有限群的例子。（比如n次代数方程的n个根的集合，所有n元置换的
集合，正三角形所有旋转的集合等等。）
96。5次和5次以上代数方程没有根式解，是怎样证明的（简述证明的思路）？
97。什么是“欧氏几何第五公设”?在证明“三角形内角和为"时，在何处用到了第五公设或
它的等价命题?试证明这个等价命题.
98。 试叙述按古典概型和几何概率定义的概率P的定义,并证明：0≤P≤1.
99. 设 为两两不同的n个实数，试证：总可以把它们排成由小到大的一列，并说明它的
算法，这算法至少要多少步?
100。 有一个的山坡，一条笔直的小路自山坡底出发,与底线成伸向山顶,试问，沿着这条小
路前进100米，上升了多少米？（这是一道立体几何中优秀的传统题）试给出严格简练的解答.
(2007。4.初拟，20103.修订。）

附录：供数学教育研究的课题
1。 数学语言与数学教学（数学语言的特征，语法；数学与数学语言教学的关系；数学教学语言的运用）。
2。 初等数学的发展及其对中小学教学的影响。
3. 傅种孙的数学教育思想与实践。
4。 数学教育中的孙维纲现象（他的“四个大规律，十五个中规律，三四十个小规律”；他的加速学习的方法与本质；他的“55％考入清华、北大”的教学效益等等）。
5。 数学哲学、数学方法论与数学教育（以“MM教育方式”、“GH数学教育方式”、“TEC数学教学方式"等为例）
6. “MM教育方式”的理论研究与实践之路.
7. 论青少年数学品质的形成（“三年课,两年完，一年搞训练"的教学安排,给师生带来的是什么？）。
8。 论数学教师的基本功。
9. 科学发展观与数学教育。
10。 数学的本质与数学教育.
11。 论数学的三重（合情、演绎、辩证推理）逻辑结构,及其对数学教学的意义。
12。 数学教师的三项（观念、知识与技能）更新与成为“新三型”教师之路。
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