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2021-2022学年高中数学 第10章 概率 习题课—随机事件的概率巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第10章 概率 习题课—随机事件的概率巩固练习新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

习题课——随机事件的概率
课后训练巩固提升
一、A组
1.下列现象中,随机现象的个数为(　　)
①在学校运动会上,学生张涛获得100 m短跑冠军;
②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④任意掷一枚骰子朝上的点数小于7.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中,在学校运动会上,学生张涛获得100m短跑冠军,是随机现象;②中,在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯,是随机现象;③中,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机现象;④中,任意掷一枚骰子朝上的点数小于7,是必然现象.故选C.
答案:C
2.从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个,所取的子集是含有2个元素的集合的概率是(　　)
A.310 B.112 C.4564 D.38
解析:设3个元素为a,b,c.所有子集共8个,⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},含有2个元素的子集共3个,故所求概率为38.
答案:D
3.某城市2019年的空气质量状况如表所示.
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
110
16
13
730
215
130

其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.815 B.18 C.115 D.130
解析:根据题意可以知道,所输入密码的所有可能结果为:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是115.
答案:C
5.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为49,则5点或6点至少出现一个的概率是　　　　　. 
解析:记事件A=“既不出现5点也不出现6点”,则P(A)=49,事件B=“5点或6点至少出现一个”.因A∩B=⌀,A∪B为必然事件,故A与B互为对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-49=59.
答案:59
6.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为　　　　　. 
解析:样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点,含a的有4个,故概率为410=25.
答案:25
7.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为　　　　　. 

解析:该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13.
答案:13
8.现从A,B,C,D,E五人中任选三人参加一个重要会议.五人被选中的机会相等,求:
(1)A被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率.
解:从A,B,C,D,E五人中任选三人参加会议,对应的样本空间Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)},且每种结果出现是等可能的.
(1)事件“A被选中”共包含6个样本点,故所求事件的概率为P1=610=0.6.
(2)“A,B同时被选中”共包含3个样本点,故所求事件的概率为P2=310=0.3.
(3)(方法一)“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率为P3=1-110=910=0.9.
(方法二)“A或B被选中”即A,B两人至少有一个被选中,共包含9个样本点.
故所求事件的概率为P3=910=0.9.
9.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.
求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
解:(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题的样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(23),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点;并且这些样本点的出现是等可能的,记事件A=“张同学所取的2道题都是甲类题”,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点,所以P(A)=615=25.
(2)(方法一)样本空间同(1).记事件B=“张同学所取的2道题不是同一类题”,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8个样本点,所以P(B)=815.
(方法二)记事件C=“张同学所取的2道题都是乙类题”,则C={(5,6)},P(C)=115.
所以所求概率P=1-[P(A)+P(C)]=1-615+115=815.
二、B组
1.在一对事件A,B中,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则A和B(　　)
A.是互斥事件,不是对立事件
B.是对立事件,但不是互斥事件
C.是互斥事件,也是对立事件
D.既不是对立事件,也不是互斥事件
解析:A,B两个事件不可能同时发生,而且必有一个发生,所以A,B两事件既是互斥事件,也是对立事件.
答案:C
2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A.110 B.15 C.310 D.25
解析:如表所示,表中每组数据中的第一个数表示第一次取到的数,第二个数表示第二次取到的数.

1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)

总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为1025=25.
答案:D
3.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为(　　)
A.518 B.14 C.310 D.910
解析:投掷两次骰子所得结果共有36种,其中方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是Δ=a2-8b>0,满足此条件的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共9个,其概率P=936=14.
答案:B
4.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(　　)
A.49 B.13 C.29 D.19
解析:若个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:
(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位数.
(2)当个位为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位数.
因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,
所以所求概率为P=545=19.
答案:D
5.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为　　　　. 
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为37+14=1928.
答案:1928
6.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下图所示.

则频率分布直方图中a的值为　　　　　;若从成绩在区间[50,70)内的学生中任选2人,则此2人的成绩都在[60,70)内的概率为　　　　. 
解析:根据直方图知组距为10,由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得a=1200=0.005.记成绩落在区间[50,60)内的2人为A1,A2,成绩落在区间[60,70)内的3人为B1,B2,B3,则从成绩在区间[50,70)内的学生中任选2人,对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共有10个样本点,其中2人的成绩都在区间[60,70)内的样本点有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为P=310.
答案:0.005　310
7.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查.6人得分情况为:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用不放回简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解:(1)总体平均数为16×(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有{(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)},共有15个基本结果.
事件A包含的基本结果有{(5,9)5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)},共有7个基本结果.
所以所求的概率为P(A)=715.
8.小王、小李两名同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;
(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.
解:(1)因为x,y可取1,2,3,4,5,6,故以(x,y)为坐标的点共有36个.记点(x,y)落在直线x+y=7上为事件A,则事件A包含的样本点有6个:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),
所以事件A的概率P(A)=636=16.
(2)公平.理由如下:记x+y≥10为事件B,x+y≤4为事件C,用数对(x,y)表示x,y的取值.则事件B包含(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6个数对;事件C包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个数对.
由(1)知基本事件总数为36个,
所以P(B)=636=16,P(C)=636=16,
所以小王、小李获胜的可能性相等,游戏规则是公平的.