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2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数测评习题新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数测评习题新人教A版必修第一册

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第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.log1216=(　　)
A.4 B.-4 C.14 D.-14
解析:log1216=-log216=-4.
答案:B
2.设a>0,将3a2a·4a3表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)
A.a112 B.a114 C.a124 D.a118
解析:3a2a·4a3=a23a12·a34=a23a54×12=a23-58=a124.
答案:C
3.函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是(　　)
A.[4,+∞)
B.(10,+∞)
C.(4,10)∪(10,+∞)
D.[4,10)∪(10,+∞)
解析:由x-4≥0,lgx-1≠0,x>0,解得x≥4,x≠10,x>0,
所以x≥4,且x≠10,故函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞).
答案:D
4.函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是(　　)
A1,2) B.(0,1) C.(2,e) D.(3,4)
解析:因为f(1)=ln2-2=ln2e2ln1=0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是(1,2).
答案:A
5.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的解(精确度为0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)(　　)
A.0.25 B.0.375 C.0.635 D.0.825
解析:令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,f(0.75)>0,f0.625)<0,所以方程2x3+3x-3=0的根在区间(0.625,0.75)内.
因为0.75-0.625=0.125<0.25,所以区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似解都满足题意.
答案:C
6.已知函数f(x)=3x-13x+1+2,则f(-10)+f(10)=(　　)
A.0 B.2 C.20 D.4
解析:令g(x)=3x-13x+1,易知g(x)为奇函数,因此f(-10)+f(10)=g(-10)+g(10)+4=0+4=4.
答案:D
7.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析:当a>1时,y=logat在定义域上为增函数,t=(a-1)x+1在定义域上为增函数,所以f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上为增函数;当0b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
解析:因为c=15log30.3,所以c=5log3103
所以只需比较log23.4,log43.6,log3103的大小.
又0log33.4>log3103>1,
所以a>c>b.
答案:C
9.已知函数f(x)=13x-log2x,若实数x0是函数f(x)的零点,且00.
而00.
答案:A
10.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的(　　)

解析:由鱼缸的形状可知,水的体积v随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.
答案:B
11.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,2] C.(0,2) D.(2,+∞)
解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0f(2),则实数m的取值范围为(　　)
A.(4,+∞) B.0,14
C.-∞,14∪(4,+∞) D.0,14∪(4,+∞)
解析:易知函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为f(log2m)>f(2),所以f(|log2m|)>f(2).
所以|log2m|>2.
所以log2m>2或log2m<-2,
解得04.
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.化简:-4870+214-12×13-2-(0.04)0.5=　　　　　. 
解析:原式=1+4912×9-12512=1+23×9-15=7-15=645.
答案:645
14.已知函数f(x)=loga(x+3)-89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(log32)=　　　　　. 
解析:因为f(-2)=-89,所以定点A的坐标为-2,-89.
又因为点A在g(x)的图象上,所以3-2+b=-89,解得b=-1.所以g(x)=3x-1.
所以g(log32)=3log32-1=2-1=1.
答案:1
15.若函数f(x)=(log14x)2+log4x+m在区间[2,4]上的最大值为7,则实数m=　　　　　. 
解析:令log4x=t,因为x∈[2,4],所以t∈12,1.
所以函数可化为y=t2+t+m,其在t∈12,1上单调递增,所以12+1+m=7,解得m=5.
答案:5
16.已知函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=f(x),x>0,f(-x),x<0.给出下列四个命题:
①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若00时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是　　　　　. 
解析:①易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;②因为F(x)=f(|x|),所以F(-x)=F(x),因此函数Fx)是偶函数;③当a<0时,若00时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x||+1=2,即|log2|x||=1a.
故|x|=21a或|x|=2-1a.故函数y=F(x)-2有4个零点,故②③④正确.
答案:②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求值:
(1)(0.25)12--2×3702×[(-2)3]43+(2-1)-1-212;
(2)lg 12-lg 58lg 12.5-log89·log278.
解:(1)原式=12-4×16+2+1-2=-1252;
(2)原式=-lg2-lg5+lg8+lg25-lg2-lg9lg8×lg8lg27=-1+3lg2+2lg5-lg2-2lg33lg3
=-1+2(lg2+lg5)-23=13.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=23|x|-a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值等于94,求实数a的值.
解:(1)f(x)=23|x|-a=23x-a,x≥0,23-x-a,x<0,
所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增.
2)因为|x|-a的最小值为-a,
所以f(x)=23|x|-a的最大值为23-a,
即23-a=94,故a=2.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log12(10-ax),且f(3)=-2.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x)≥12x+m在x∈[3,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(3)=-2,所以log12(10-3a)=-2.
所以10-3a=4,解得a=2.
所以f(x)=log12(10-2x).
要使函数f(x)有意义,应有10-2x>0,即x<5,故函数的定义域为(-∞,5).
(2)不等式f(x)≥12xm可化为不等式m≤log12(10-2x)-12x.
令g(x)=log12(10-2x)-12x,显然g(x)在区间[3,4]上单调递增,
因此g(x)在区间[3,4]上的最小值为g(3)=log124-123=-178,故m≤-178,
即实数m的取值范围是m≤-178.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx2-3x+1的零点至少有一个大于0,求实数m的取值范围.
解:①当m=0时,由f(x)=0,得x=13,符合题意,
②当m≠0时,
(ⅰ)由Δ=9-4m=0,得m=94,令f(x)=0,解得x=23,符合题意;
(ⅱ)Δ>0,即9-4m>0时,m<94.

设f(x)=0的两根为x1,x2,且x10,x1·x2=1m>0,即x1>0,x2>0,符合题意;
若m<0,则x1+x2=3m<0,x1·x2=1m<0,
即x1<0,x2>0,符合题意.
综上可知m的取值范围为-∞,94.
21.(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:
t
50

110
250
Q
150
108
150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解:(1)由所提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市时间t的增加先减少再增加.
若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.
将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得150=2500a+50b+c,108=12100a+110b+c,150=62500a+250b+c.
解得a=1200,b=-32,c=4252.
所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.
(2)当t=--322×1200=150(天)时,
芦荟种植成本最低为Q=1200×1502-32×150+4252=100(元/10kg).
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=log4a·2x-43a,若函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)恒成立,
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx.
因此log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx.
所以(2k+1)x=0.
所以2k+1=0,解得k=-12.
(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-12x.
因为函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)有且仅有一解.
所以log4(4x+1)-12x=log4a·2x-43a,
即log4(4x+1)-log4412x=log4a·2x-43a.
所以log44x+12x=log4a·2x-43a.
所以4x+12x=a·2x-43a,a·2x-43a>0.
设2x=t(t>0),则4x+12x=a·2x-43a可化为(a-1)t2-43at-1=0,①
即①式只有一个正根.
若a-1>0,则方程①式的Δ=169a2+4a-4>0,且两根之积为11-a<0,故方程必有一个正根,符合题意;
若a-1=0,则方程①式化为-43t-1=0,
解得t=-34,不符合题意;
若a-1<0,则由Δ=169a2+4a-4=0,
得a=-3或a=34.
当a=-3时,t=12,符合题意;
当a=34时,t=-2,不符合题意.
综上可知实数a的取值范围是a=-3或a>1.