1、高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（三）限时练 新人教A版必修5
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（三）限时练 新人教A版必修5
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1.2 应用举例(三)
一、选择题
1．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h
2．甲骑电动车以24km/
2、h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．6km B．3km
C．3km D．3km
3．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
4．已知三角形的三边分别为a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA等于( )
A. B.
3、 C. D.
5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中，若cosB＝，＝2，S△ABC＝，则b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
8．某海
4、岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)
9．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为____________km.
三、解答题
10．已知△ABC的面积为1，tanB＝，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．
11.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里
5、的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
答案精析
1．B 2.C 3.B
4．D [S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2b
6、ccos A＋2bc，
∵S＝bcsin A，
∴bcsin A＝2bc－2bccos A.
即4－4cos A＝sin A.
平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.
即(17cos A－15)(cos A－1)＝0.
得cos A＝1(舍)或cos A＝.]
5．D 6.C 7. 8.没有 9.－1
10．解 ∵tan B＝>0，∴B为锐角，
∴sin B＝，cos B＝.
∵tan C＝－2<0，∴C为钝角，
∴sin C＝，cos C＝－，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
∵S△ABC＝absin
7、 C＝2R2sin Asin Bsin C
＝2R2×××＝1.
∴R2＝，R＝.
∴πR2＝π，即外接圆的面积为π.
∴a＝2Rsin A＝，b＝2Rsin B＝，
c＝2Rsin C＝.
综上，a＝，b＝，c＝，
△ABC外接圆的面积为 π.
11．解 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos 120°＝2 800，所以BC＝20.
由正弦定理＝，得
sin∠ACB＝＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠
8、ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°
＝×－×＝.
12.解 如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，∠ACB＝120°.
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，整理得2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去)．
即舰艇需1小时靠近渔船，
此时AB＝10，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝
＝＝，又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.
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