2019初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教(学)案[含答案解析].pdf

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质定理 1 和性质定理 2。3.正确运用正方形的性质解题。4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。构 构 构 构 构 构 构 构构 构 构 构 构 构 构 构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理 2 包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例例 1 如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使ABCDBDADBDDG，求2AD AG【解析】：作 GMBD，垂足为 M 由题意可知ADG=GDM，则ADGMDG DM=DA=2 AC=GM 又易知：GM=BM 而 BM=BD-DM=2-2=2（2-1）2 AG=BM=2（-1）2例例 2 如图，为正方形内一点，并且点到边的距离也等于，求正方形PABCD10PAPBPCD10的面积？ABCD【解析】：过作于交于PEFABFDCE 设，则，PFx10EFx1(10)2BFx 由222PBPFBF 可得：222110(10)4xx 故6x 216256ABCDS例例 3.如图，、分别为正方形的边、上的一点，EFABCDBCCDAMEF，垂足为，则有，为什么？MAMABEFBEDF【解析】：要说明 EF=BE+DF，只需说明 BE=EM，DF=FM 即可，而连结 AE、AF只要能说明ABEAME，ADFAMF 即可 理由：连结 AE、AF 由 AB=AM，ABBC，AMEF，AE 公用，ABEAME BE=ME 同理可得，ADFAMF DF=MFEF=ME+MF=BE+DF例例 4 如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。EFABCDBCCD45EAFEFBEDF【解析】：将ADF 旋转到ABC，则ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四边形是正方形，ADFBAE=45GABBAE=45即GAE=45AEFAEG（SAS）EF=EG=EBBG=EBDF例例 5.如图，在正方形的、边上取、两点，使ABCDBCCDEF45EAFo，于.求证：AGEFGAGAB【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证 RtABE 与 RtAGE 全等，但条件不够.EAF=45怎么用呢？显然12=45，若把它们拼在一起，问题就解决了.【证明】：把 AFD 绕 A 点旋转90至AHB.EAF=45，12=45.2=3，13=45.又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.AEFAEH.例例 6.(1)如图 1,在正方形中,点,分别在边,ABCDEFBC上,交于点,.CDAE BFO90AOF求证：.BECF(2)如图 2,在正方形中,点,分别在边,ABCDEHFGAB,上,交于点,.BC CDDAEFGHO90FOH4EF 求的长.GH1.已知点,分别在矩形的边,上，EHFGABCDABBC CDDA,交于点,.直接写出下列两题的答案：EFGHO90FOH4EF 如图 3,矩形由个全等的正方形组成,求的长；ABCD2GH 如图 4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).ABCDnGHn【解析】图 3图 4图 2图 1 (1)证明：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，AB=BC,ABC=BCD=90，EAB+AEB=90.EOB=AOF90,FBC+AEB=90，EAB=FBC，ABEBCF，BE=CF (2)解：如图 2,过点 A 作 AM/GH 交 BC 于 M，过点 B 作 BN/EF 交 CD 于 N,AM 与 BN 交于点 O/，则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形，EF=BN,GH=AM，FOH90,AM/GH，EF/BN,NO/A=90,故由(1)得,ABMBCN，AM=BN，GH=EF=4 (3)8 4n 【双基双基训练训练】1.如图 6，点在线段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的ABGABCDDEFG3cm5cmCDE面积为_2cm (6)(7)2你可以依次剪 6 张正方形纸片，拼成如图 7 所示图形如果你所拼得的图形中正方形的面积为 1，且正方形与正方形的面积相等，那么正方形的面积为_3.如图 9，已知正方形的面积为 35 平方厘米，、分别为边、上的点、相交于，并ABCDEFABBCAFCEG且的面积为 14 平方厘米，的面积为 5 平方厘米，那么四边形的面积是_ABFBCEBEGF4.如图，、三点在同一条直线上，。分别以ABC2ABBC、为边作正方形和正方形，连接，ABBCABEFBCMNFN。EC图 2ONM ABCDEF12G求证：。FNEC5.如图，是正方形是上的一点，于，于 ABCDGBCDEAGEBFAGF（1）求证：；ABFDAE（2）求证：DEEFFB【纵纵向向应应用用】6.在正方形中，ABCD12 求证：BEOF217.在正方形中，,ABCD12 AEDF求证：CEOG218.如图 13，点为正方形对角线上一点,EABCDBDEFBCEGCD 求证：AEFG ABCDFOEGH12DGAEBCF 13ADEFCGB 构构9.已知：点、分别正方形中和的中点，连接和相交于点,EFABCDABBCAFDEG于点.GHADH求证：；AFDE如果,求的长；2AB GH求证：CGCD【练习题练习题答案答案】16cm2 236342027cm2（面积法）4.证明：FN=EC。证明：在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中，AB=BE=EF，BC=BN，FEN=EBC=90AB=2BCEN=BC FENEBC FN=EC。5.略6.提示：注意到基本图形中的 AE=AF.1.两次应用内角平分线定理和 CE=CF 可证2.过点 O 作 OGDE 和 CO=CG,CF=CE 可证.3，过点 O 作 OHBE,OF=OH=BE217.提示：一条线段的一半或 2 倍这两者的位置关系有哪两种8.提示：延长 AE 交 GF 于点 M，DC,使 CH=DG,连接 HF,证四边形对角互补,法 2：延长 FE，AE 证全等三角形9.（1)略（2）（3）作 CMDG,证 DM=AG=0.5DG45 构 构 构 构 构 构 构 构构 构 构 构 构 构 构 构（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是 90；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（3）主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。例例 1.已知：如图，是正方形内点，PABCD15PADPDA 求证：是正三角形PBC【证明】：如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300，从而得出PBC 是正三角形例例 2.如图，分别以的和为一边，在ABCACBC的外侧作正方形ABC和正方形，点是的中点ACDECBFGPEF求证：点到边的距离等于的一半PABAB【证明】：过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=。2EGFH+由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。APCDBPCGFBQADE 从而可得 PQ=，2AIBI+2AB从而得证。例例 4.如图，四边形为正方形，ABCDDEACAEAC与相交于AECDF求证：CECF【证明】：顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。又EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。例例 6.设是正方形一边上的任一点，平分PABCDBCPFAPCFDCE求证：PAPF【证明】：作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tanEPF=，可得 YZ=XY-X2+XZ，XYZYXZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出ABPPEF，AFDECB 得到 PAPF，得证。例例 7.已知：是边长为 1 的正方形内PABCD的一点，求的PAPBPC最小值【证明】：顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF=213(1)42+23+42 32+=2(31)2+2(31)2+=。622+例例 8.为正方形内的一点，并且，求正方形PABCDPAa2PBa3PCa的边长【证明】顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长 L=。2222(2)()22a+g52 2 a+gDFEPCBAACBPDD 【双基双基训练训练】1.如图，四边形是正方形，对角ABCD线、相交于，四边形是菱形，若正方形的边长为 6，则菱形ACBDOBEFD的面积为_2.如图，是正方形，为上一点，四边形恰是一个菱形，则=_ABCDEBFAFECEAB【纵纵向向应应用用】3.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别是边，的中点，且交正方ABCDaGEABBC90AEFEF形外角的平分线于点CFF（1）证明：；BAEFEC（2）证明：；AGEECF（3）求的面积AEFACBPD 【横向拓展横向拓展】4.如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点ABCDABEMBDBBM逆时针旋转得到，连接、.B60BNENAMCM 求证：；AMBENB 当点在何处时，的值最小；MAMCM当点在何处时，的值最小，并说明理由；MAMBMCM 当的最小值为时，求正方形的边长.AMBMCM13【练习题练习题答案答案】1362【解析】连结 BD 交 AC 于点 O，作 EMAC 于点 M 设正方形边长为 a，则 AC=BD=AE=a2 又ACBF，BOAC，EMAC，BO=EM=BD=22a12EA DB CNM 在 RtAEM 中，AE=a，EM=22a2 CAE=30 则EAB=153.（1）证明：AEF=90o，FEC+AEB=90o在 RtABE 中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）证明：G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o又CF 是DCH 的平分线，ECF=90o+45o=135o在AGE 和ECF 中，FECGAEECFAGEECAGo,135,AGEECF；（3）解：由AGEECF，得 AE=EF又AEF=90o，AEF 是等腰直角三角形由 AB=a，BE=a，知 AE=a，2125SAEF=a2854.【解析】：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.5 分当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小.如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小.理由如下：连接 MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.FEA DB CNM 根据“两点之间线段最短”，得 ENMNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长.过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF906030.设正方形的边长为 x，则 BFx，EF.232x在 RtEFC 中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2.2x23213 解得，x（舍去负值）.2正方形的边长为.2您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。