二项式定理.块三.二项展开式赋值求某些项系数和与差.学生(高中数学选修题库).doc

赋值求某些项系数的和与差

知识内容

1．二项式定理
⑴二项式定理

这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是

，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
典例分析

二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）
【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．
【例3】 展开式中不含的项的系数和为
A． B． C． D．
【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【例5】 ，则______．
【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）
【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．
【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）
A． B．150 C． D．500
【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．
【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．
【例13】 若，
求的值．
【例14】 若，
则 ．
【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．
【例16】 若，
则_____．
【例17】 已知，求．
【例18】 若，求的值．
【例19】 若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【例20】 若，则（ ）
A． B． C． D．
【例21】 已知，求：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
【例22】 若，
求的值．
【例23】 若，
则________．（用数字作答）
【例24】 若，
则 ．
【例25】 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例26】 已知．
⑴当时，求的值；
⑵设．
试用数学归纳法证明：当时，．
【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，
由求导法则得，化简得．
⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；
⑵对于整数，求证：．
⑶对于整数，求证①；②．
【例28】 证明：．
【例29】 证明：．
【例30】 求证：
【例31】 求的二项展开式．
【例32】 设，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例33】 设，求
【例34】 已知数列（）满足：
求证：对于任意正整数，
是一次多项式或零次多项式．
【例35】 若，则等于（ ）
A． B． C． D．