高中数学统计和概率综合解答题专项训练.doc

高中数学统计与概率综合解答题专项训练
1．(12分)由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低于，则称为“good sight”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“good sight”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，
记X表示抽到“good sight”学生的人数，求X的分布列及数学期望．
解Ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75. …………2分
（Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“good sight”，至多有1人是“good sight”记为事件，则. ………6分
（Ⅲ）一 个人是“good sight”的概率为
的可能取值为0、1、2、3. ………7分
,,
,. ………9分
的分布列为:

1
2

……12分
2. (本题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班位女同学， 位男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析。
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；
（Ⅱ）随机抽取位同学，数学成绩由低到高依次为：；
物理成绩由低到高依次为：，若规定分（含分）以上为优秀，记为这位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若这位同学的数学、物理分数事实上对应下表：
学生编号

数学分数

物理分数

根据上表数据可知，变量与之间具有较强的线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到）．（参考公式：，其中，； 参考数据：，，，，，，）
解：（I）抽取女生数人，男生数………1分
则共有个不同样本………3分
（II）的所有可能取值为……………4分
，，…7分

的分布列为
………9分
（Ⅲ），（或也算正确）…11分
则线性回归方程为：………12分
3. 18．（12分）(理)（2010·深圳二次调研）上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这507名画师中年龄在岁的人数（结果取整数）；
（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
分组
（单位：岁）
频数
频率

5
0.050

①
0.200

35
②

30
0.300

10
0.100
合计
100
1.00

20 25 30 35 40 45 年龄/岁岁

18．(理)

解：（1）①处填20，②处填0.350；507名画师中年龄在的人数为人，
补全频率分布直方图如图所示.
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”
的有15人.故ξ的可能取值为0， 1，2；

所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

20 25 30 35 40 45 年龄 岁
所以.

4. 20.（2009丹东二模）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．
20. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. …（4分）
所以，估计这次考试的平均分是72分．……（6分）
（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，
有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 …………（8分）
随机变量的可能取值为0、1、2、3，且．
∴
∴变量的分布列为：

0
1
2
3
P

（10分）
…（12分）（或)
5. （2010大连二模）某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于
区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组：
第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组
[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。
部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不
小于90分）的人数为20。
（1）请补全频率分布直方图；
（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取
两人，成绩记为，求的概率；
（3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变
量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E（X）。
解：（1）由图得，成绩在的人数为4人，
所以在的人为16人，
所以在的频率为，
在的频率为．………2分
补全的频率分布直方图如图所示．………4分
（2）由题得：成绩在的有8人，
在的为16人．
所以的概率为．…6分
（3） 的分布列为:

0
1
2
3
4

…9分
随机变量服从的是M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望．…………12分
6. 15.（2010东北三校一模）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，
甲运动员
射击环数
频数
频率
7
10
0.1
8
10
0.1
9

0.45
10
35

合计
100
1
乙运动员
射击环数
频数
频率
7
8
0.1
8
12
0.15
9

10

0.35
合计
80
1
若将频率视为概率，回答下列问题，
（1）求甲运动员击中10环的概率
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及.
15. 解：
（1）设“甲运动员击中10环”为事件,
甲运动员击中10环的概率为0.35. ………
（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件
则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率
…………
甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. ……
（3）的可能取值是0，1，2，3

所以的分布列是

0
1
2
3

0.01
0.11
0.4
0.48

…
. ……
7.（2010东北三省四市联考）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
药物效果试验列联表

患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个
进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只．
（I）求出列联表中数据，，M，N的值；
（II）画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；
（III）能够以97．5％的把握认为药物有效吗?
参考数据：

0．50
0．40
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001

0．455
0．708
1．323
2．072
2．706
3．841
5．204
6．635
7．879
10．8282

10. （1）P=， P=
· ---- 1 -- 2分--3分
画出列联表的等高条形图 -------4分
由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ----5分
（2）取值为0，1，2高.考.资/源/网
P==，P==，P==，

0
1
2

-----7分
P==P==P==

0
1
2

------9分
说明药物有效 ----10分
（3） ---11分
由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。 --12分

8. (本小题满分12分)
从某高中人校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况
如下表所示。
(1)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率
分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
(2)按身高分层抽样，现已抽取20人参加某项活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为，求的分布列及期望。

9. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生

5

女生
10

合计

50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：，其中)
解．(本小题满分14分)
解：(1) 列联表补充如下：-------3分

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
（2）∵--------6分
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-----7分
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------9分
其概率分别为,----12分

故的分布列为:
---13分

的期望值为: ---------14分
10. 一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（2）估计该社区居民月收人的平均数；
（3）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2
所以应抽取的人数为0.2×100=20人
（2）由频率分布直方图可知，月收入在[1000，1500）的频率为0.1
月收入在[1500，2000）的频率为0.2
月收入在[2000，2500）的频率为0.25
月收入在[2500，3000）的频率为0.25
月收入在[3000，3500）的频率为0.15
月收入在[3500，4000）的频率为0.05
所以估计月收入的平均数为：0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元
（3）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为2×0.0005×500=0.5
可以用数字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，数字5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；
观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月在[2000，3000）的有191，271，932，812，393，027，730，共有7个
而基本事件一共有20个，根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的概率为P=0.35
11. 某学校共有高一、高二、高三学生名，各年级男、女生人数如下图：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．.
解：（1）由已知有；（4分）
（2）由（1）知高二男女生一起人，又高一学生人，所以高三男女生一起人，
按分层抽样，高三年级应抽取人；（8分）
（3）因为，所以基本事件有：

一共11个基本事件.其中女生比男生多，即的基本事件有：
共5个基本事件，故女生必男生多的事件的概率为 （12分）
分组
频数
频率
[50,60)
5
0.05
[60,70)

0.20
[70,80)
35

[80,90)
30
0.30
[90,100)
10
0.10
合计

1.00
12. 某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成 频率分布表
绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，
满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供
的数据，解答下列问题：
(Ⅰ)求的值及随机抽取一考生其成绩不
低于70分的概率；
(Ⅱ)按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活
动，并从中指派2名学生担任负责人，记这2名学生中
“成绩低于70分”的人数为，求的分布列及期望。
解：(Ⅰ)
由频率分布表可得成绩不低予分的概率为：
……4分
（Ⅱ)由频率分布表可知，“成绩低予分”的概率为
按成绩分层抽样抽取人时．“成绩低于分”的应抽取人…6分
的取值为

的分布列为

…9分
………12分
13. 甲、乙两种鱼的身体吸收汞，质检部门对市场中出售的一批鱼进行检测，在分别抽取的10条鱼的样本中，测得汞含量与鱼体重的百万分比如下：
甲种鱼：1.31,1.02,1.42,1.35,1.27,1.44,1.28，1.37，1.36,1.14；
乙种鱼：1.01,1.35,0.95,1.16,1.24,1.08,1.17，1.03，0.60,1.11；
(1)用前两位数做茎，画出样本数据的茎叶图，并写出甲、乙两种鱼关于汞分布的一个统计结论；
(2)在样本中选择甲、乙两种鱼各一条做一道菜(在烹饪过程中汞含量不会发生改变)，当两条鱼汞的总含量超过总体重的1.00 ppm(即百万分之一)时，就会对人体产生危害．如果20条鱼中的每条鱼的重量都相同，那么这道菜对人体产生危害的概率是多少？
解：(1)甲乙两种鱼汞含量样本数据分布茎叶图如下：
统计结论：甲种鱼汞含量高于乙种鱼汞含量．
(2)从甲种鱼和乙种鱼中各选一条，共有100种情况，其中汞含量不超标的有：
①乙种鱼中选到汞含量为0.6的，甲种鱼中选到汞含量低于1.4的，共有8种情况；
②乙种鱼中选到汞含量为0.95的甲种鱼中选到汞含量为1.02的，共1种情况，
所以，这道菜不会对人体产生危害的概率为：，
则这道菜会对人体产生危害的概率是：1－＝.
14.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第3，4，5组的频率；
(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望.
75 80 85 90 95 100 分数

0.01
0.02
0.04
0.06
0.07
0.03
0.05

18. 解：(1) 0.3； 0.2；0.1.
(2)(ⅰ) P(A)=
(ⅱ)

0
1
2
P

9 / 9