2020-2021学年高中数学-第五章-三角函数-5.5-三角恒等变换教案-新人教A版必修第一册.docx

2020-2021学年高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换教案 新人教A版必修第一册

2020-2021学年高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换教案 新人教A版必修第一册

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第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标
学科素养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的
余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．
3． 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式
的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的
变换的常用方法．
4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生
数形结合和类比的思想方法。
a.数学抽象：公式的推导；
b.逻辑推理：公式之间的联系；
c.数学运算：运用和差角角公式求值；
d.直观想象：两角差的余弦公式的推导；
e.数学建模：公式的灵活运用；

教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

多媒体

教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）创设问题情境
提出问题
１.两角差的余弦公式
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系
不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A（１，０），以x轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A1（cosα，sinα）， P1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1, P1重合．根据圆的旋转对称性可知，
AP与A1P1 重合，从而， 所以AP＝A1P1
根据两点间的距离公式，得
cosα-β-12+sinα-β2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2，
化简得:
cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ
当α=2kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．

所以，对于任意角α，β有
cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，
称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
典例解析
例１ 利用公式cosα-β证明：
（１）cosπ2-α= sinα ; （２）cosπ-α= cosα．
证明: (1)cosπ2-α= cosπ2cosα+sinπ2sinβsinα
=0＋1×sinα=sinα．
(2)cosπ-α== cosπcosα+sinπsinβsinα
=(-1)×cosα+o．＝－ cosα．
例２ 已知sinα=45，α∈π2,π), cosβ=-513，β是第三象限角，求cosα-β的值．
解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=-1-sinα2=-1-(45)2=-35
又由cosβ=-513，β是第三象限角，得sinβ=-1-cosβ2=-1-(-513)2=-1213．
所以cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ
=(-35) ×(-513)+(45) ×(-1213)=-3365
由公式 cosα-β出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
下面以公式 cosα-β为基础来推导其他公式 ．
例如 ， 比较cosα-β 与cosα+β ，并注意到 α ＋ β 与
α-β之间的联系 ：α+β＝α-（-β）则由公式 cosα-β ，
有cosα+β=cos[α--β] ＝cosαcos-β+sinαsin-β=cosαcosβ-sinαsinβ
于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ．
cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ．
问题探究
上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？
通过推导 ， 可以得到 ：
   sinα+β ＝ sinαcosβ+cosαsinβ，（ S（α ＋ β ） ）
   sinα-β ＝ sinαcosβ-cosαsinβ ; （ S（α － β ） ）
你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示   tanα+β ，   tanα-β 的公式吗 ？
通过推导 ， 可以得到 ：
       tanα+β =   tanα+tanβ   1   tanαtanβ T(α + β )
       tanα-β =   tanα-tanβ   1+  tanαtanβ T(α - β )
和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式
公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ．
类似地 ， Ｓ(α － β ) ， Ｃ(α － β ) ， Ｔ(α － β )都叫做 差角公式 ．
典例解析
例3. 已知sinα=-35，α是第四象限角，求sinπ4-α,cosπ4+α,tanα-π4的值 ．
解 ： 由 sinα=-35，α是第四象限角，
得cosα=1-sinα2=1-(-35)2=45
所以  tanα =   sinαcosα = -3545 = - 34
于是有sinπ4-α =sinπ4cosα-cosπ4sinα
=22×45-22×(-35)=7210;
cosπ4+α =cosπ4cosα-sinπ4sinα=22×45-22×(-35)=7210;
  tanα-π4 =   tanα-tanπ41+  tanαtanπ4 =   tanα-11+  tanα=   -34-11+(-34) =-7
由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有sinπ4-α =cosπ4+α． 那么对于任意角α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明?
例 ４　 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
（ 3 ）1+tan15°1-tan15° ;
分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ． 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．
解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得
sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12
（2） 由公式 C（α +β ） ， 得
cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0
（3） 由公式 T（α +β ）及tan45°=1， 得
1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°tan45°-tan15°=tan45°+15°=tan 60°=3

通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。

通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

三、当堂达标
1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　)
A．cos 100°　　　B．sin 100° C． D．
【解析】　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.
【答案】　C
2.已知α是锐角，sin α＝，则cos等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】　因为α是锐角，sin α＝，
所以cos α＝，所以cos＝×－×＝.故选B．
【答案】　B
3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】　因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝.故选A．
【答案】　A
4．计算＝________.
【解析】　＝＝tan 45°＝1.
【答案】　1
5．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
【解】　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α