2019汕头一模理科数学(教师版).pdf

2019 年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）2|log0,|2AxxBx xAB A|2x xB|02xxC|02xxD|12xx1答案：D解析：22|log0log 1|1,|2,|12Axxx xBx xABxx2已知是虚数单位，复数，若，则（）,iRa2i1 iaz2z a A0B2C 2D12答案：A解析：2222i2i42,42,44,01 i1 i2aaazaaa3已知离散型随机变量 X 的分布列为X0123P 827 49 m 127则 X 的数学期望（）()E X A 23B1C 32D23答案：B解析：由，得，所以841127927m29m 8421()01231279927E X 4已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）(3,1),(1,3),(,2)abck/acbabcA 6B 4C 3D 24答案：D解析：，因为，所以，解得，当时，(3,3)ack/acb(3)33 1k 2k 2k，所以向量与向量的夹角为(4,4),(2,2),0abbabcabc25一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）28yx20 xA(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,0)5答案：B解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点(2,0)16141210864224682015105510152025FOC6将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在()sin 24f xx3()yg x()g x上的最小值为（）3,88A 1B 32C 12D06答案：A解析：，因为，所以5()sin 2sin 233412g xfxxx3,88x，当，即时，522,1233x 52122x 24x min()1g x 7将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A 320B 340C 920D 9407答案：C解析：6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：个，所以3620C 1339C 所求概率为9208在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（1111ABCDABC DOABCD1AO）A 11/AODCB 1AOBCC平面 1/AO11BCDD平面 1AO 11AB D8答案：C解析：选项 A，连接，则，因为与相交，所以 A 错；1AB11/ABDC1AB1AO选项 B，取中点，连接，则，在中，所以与ABE1,AE OE/OEBC1AEO190AEO1AO不垂直，所以与不垂直，B 错；OE1AOBC选项 C，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，11111ACB DO1CO11COAO A11AOCO所以，又因为平面，平面，所以平面，C 正确；11/AOCO1AO 11BCD1CO 11BCD1/AO11BCD选项 D，连接，易证得，平面，所以与平面不垂直，D 错1AC1AC 11AB D1AO11AB DABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1OEABCDA1B1C1D1OEABCDA1B1C1D1OO1ABCDA1B1C1D1O9若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）()(cos)xf xexa,2 2 aA(2,)B(1,)C 2,)D 1,)9答案：C解析：由题意，恒成立，即,2 2x ()(sincos)0 xfxexxa恒成立，当时，cossin2cos4axxx,2 2x 3,444x，所以实数的取值范围是2cos,1,2cos(1,2424xx a 2,)10过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线22221(0,0)xyababx,A B的渐近线交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（）,C D35ABCDA 5,3B5,4C 51,3D51,410答案：B解析：渐近线方程为，将代入，得，byxa xc2,bcbcbcC cD cCDaaa为双曲线的通径，因为，所以，即，AB22bABa35ABCD223 25bbcaa35bc则，即，则，则22222992525bccac221625ca22516e 54e11三棱锥中，平面的面积为 2，则三棱锥的外PABCPA,30,ABCABCAPC PABC接球体积的最小值为（）A 323B 43C 64D 411答案：A解析：因为平面，所以是圆柱模型，设，则，PA ABC,ACm PAh12,42APCShmhm设外接圆半径为，的外接球半径为，则，ABCrPABCR2sin30mrrm所以，即的最小值为 2，所以外接球的体积的最小值为22242hRrrhR32312定义在上的函数，满足，且当时，若函数1,()f x1()f xfx1,1x()lnf xx在上有零点，则实数的取值范围为（）()()g xf xax1,aA ln,0B 1,2eC 1 ln,eD ln,012答案：D解析：当时，此时，所以，1,x11,1x11()lnlnf xfxxx 1ln,1()ln,1,x xf xxx画出函数的图象，因为函数在上有零点，所以的图象与()f x()()g xf xax1,()yf x的图象有交点，由图，当直线过点时，由图象可得，实数的yaxyax1,lnlna a取值范围是ln,03211236422468二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13设满足约束条件，则的最大值为 ,x y12314yxyxy4zxy13答案：19解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的，其中，ABC(4,2),(1,1),(5,1)ABC，所以18,3,19ABCzzzmax19Czz654321123410864224681012CBAO14已知，则 4tan43cos214答案：24252222sincos44cos2sin 2sin22sincos2444cossin4442tan22443162511tan9415在的展开式中，的系数为 30，则实数的值为 2 5(1)axx3xa15答案：1解析：展开式中含的项为，3x2232031 312 1335521()()1()()(1020)CaxxC Caxxaa x 所以，所以3102030aa3230aa2(3)(1)0aaa1a 16在锐角三角形中，角所对的边分别为，且ABC,A B C,1a b c a，则面积的最大值为 2(2)coscos1bcAacBb ABC16答案：34解析：由，得，2(2)coscos1bcAacBb 2(coscos)12cosc bAaBbA 所以，故，又由余弦定理，2212coscbA 221cos2cbA222cos,12cbaAabc故，又，所以，故，当1bc 221211cos222cbbcA3sin2A13sin24ABCSbcA且仅当即为等边三角形时等号成立，所以面积的最大值为1bcABCABC34三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）已知数列的前项和为，且nannS221nnnSnaa（1）求数列的通项公式；na（2）若数列的前项和为，证明：21nannT4nT 17解析：（1）当时，即，11n 111221Saa11a 分当时，2 分2n221nnnSnaa1112(1)21nnnSnaa，得，即，3 分112(1)22nnnnnananaaa1(1)nnnana所以，且，4 分11nnaann1122a所以数列为常数列，5 分1nan，即6 分112nan1()2nnanN（2）由（1）得，所以，8 分12nna22144114(1)(1)1nann nnn所以，9 分22224444234(1)nTn，（没写也不扣分）10 分44441 22 33 4(1)n n11 分111111141223341nn12 分14 141n18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是PABCDPA ABCD60,ABCEBCF上的点PC（1）求证：平面平面；AEF PAD（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值MPDABAPFEMAEF为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由15PFPCABCDPEFM18解析：（1）连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，ACABCD60ABCABC是的中点，1 分EBCAEBC又，2 分/,ADBCAEAD平面，平面，3 分PA ABCDAE,ABCDPAAE又平面，4 分,PAADAAEPAD又平面，所以平面平面5 分AE AEFAEF PAD（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，A2ABAP3AE 则，6 分(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(0,1,1)ACDPEM设，则，7 分(3,1,2)PFPC (0,0,2)(3,1,2)(3,22)AFAPPF 又，(3,0,0)AE 设是平面的一个法向量，则，(,)nx y zAEF303(22)0n AExn AFxyz 取，得，9 分z22,n（0，）设直线与平面所成角为，由，得：EMAEF(3,1,1)EM 10 分22321sincos,55(22)EM nEM nEMn 化简得：，解得或，21013401245故存在点满足题意，此时为或12 分FPFPC1245ABCDPEFMxyz19（本小题满分 12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布(32,16)N（1）购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人）234681013年收益增量 y（万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程：；4.111.8yx模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量 xyb xa做变换，令，则，且txyb ta 有772112.5,38.9,()()81.0,()3.8iiiiityttyytt（i）根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预2R测人工投入增量为 16 人时的年收益增量回归模型模型模型回归方程4.111.8yxyb xa 721()iiiyy182.479.2附：若随机变量，则，；2(,)ZN(33)0.9974PZ100.99870.9871样本的最小二乘估计公式为：，(,)(1,2,)iit yin121()(),()niiiniittyybaybttt另，刻画回归效果的相关指数22121()1()niiiniiyyRyy 19解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，1(32,16)N32,4分由正态分布的对称性可知，3 分111(20)1(2044)1(33)(1 0.9974)0.0013222PPP 设购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于 20g 的牡蛎为 X 只，故，4 分(10,0,0013)XB故，10(1)1(0)1(1 0.0013)1 0.98710.0129P XP X 年收益增量y（万元）010203040506070051015人工投入增量x（万人）所以这 10 只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性仅为 1.29%5 分（2）（i）由，有772112.5,38.9,()()81.0,()3.8iiiiityttyytt，6 分71721()()81.021.33.8()iiiiittyybtt且，7 分38.921.3 2.514.4aybx 所以，模型中关于的回归方程为 8 分yx21.314.4yx（ii）由表格中的数据，有，即9 分182.479.2772211182.479.2()()iiiiyyyy模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好10 分2R当时，模型的收益增量的预测值为16x（万元），11 分21.31614.421.3 4 14.470.8y 这个结果比模型的预测精度更高、更可靠12 分20（本小题满分 12 分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，2222:1(0)xyCabab12,F F12AC，12AF，过与坐标轴不垂直的直线 与椭圆交于两点1260F AF2FlC,P Q（1）求椭圆的方程；C（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的,P QN2OF(,0)M mMNPQm取值范围；若不存在，请说明理由20（1）由，得，1 分12cea2ac，2 分122,22AFAFa在中，由余弦定理得：，12AFF2221212122cosAFAFAFAFAFF代入化简得，3 分2440aa解得，从而，4 分2a 1c 2223bac所以椭圆的方程为5 分C22143xy（2）存在这样的点符合题意设，M112200(,),(,),(,)P x yQ xyN xy由，设直线的方程为，6 分2(1,0)FPQ(1),0yk xk由，得，7 分22143(1)xyyk x2222(43)84120kxk xk，22222(8)4(43)(412)144(1)0kkkk 由，得，8 分2122843kxxk212024243xxkxk又点在直线上，所以，9 分NPQ2002243(1)14343kkyk xkkk所以22243,43 43kkNkk若有，则，10 分MNPQ22230143443MNkkkkkmk 整理得，11 分22213434kmkk所以存在实数，且的取值范围为12 分mm10,4MNQF1OF2P21（本小题满分 12 分）已知21()(2)(0)2xf xaxaxxea（1）讨论的单调性；()f x（2）若存在 3 个零点，求实数的取值范围()f xa21解析：（1）1 分()(2)(1)()xxxfxaxaexexea 因为，由，得或2 分0a()0fx11x 2lnxa（i）当时，0ae1lna在和上，单调递增；(,ln)a(1,)()0fx()f x在上，单调递减，3 分(ln,1)a()0fx()f x（ii）当时，在上，单调递增，4 分ae1lna(,)()0fx()f x（iii）当时，aeln1a 在和上，单调递增；(,1)(ln,)a()0fx()f x在上，单调递减，5 分(1,ln)a()0fx()f x（2），211()(2)(2)22xxf xaxaxxexxe 所以有一个零点6 分()f x2x 要使得有 3 个零点，即方程有 2 个实数根，()f x10(2)2xaxex又方程，令，7 分120(2)(2,0)2xxeaxexaxx2()(2,0)xeh xxx即函数与图像有两个交点，ya()yh x令，得8 分22222(1)()0 xxxxeeexh xxx1x 的单调性如表：()h x x(,0)(0,1)1(1,2)(2,)()h x0()h x极小值9 分当时，又，的大致图像如图，11 分0 x()0h x 2(2)he()h x所以，要使得有 3 个零点，()f x108642246151055101520O则实数的取值范围为12 分a22(2,)(,)e ee（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分22【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，xOyC2cos2sinxya0a 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为xlsin2 24（1）设是曲线上的一个动点，若点到直线 的距离的最大值为，求的值；PCPl2 22a（2）若曲线上任意一点都满足，求的取值范围C(,)x y2yx a22解析：（1）依题意得曲线的普通方程为，1 分C22()4xya因为，所以，因为，sin2 24sincos4cos,sinxy因为直线 的直角坐标方程为，即，2 分l4yx40 xy所以圆心到直线 的距离为，3 分(0,)Cal42a 则依题意得，4 分422 222a 因为，解得5 分0a 8a（2）因为曲线上任意一点都满足，所以，7 分C(,)x y2yx 222a所以，解得或，9 分22 2a22 2a22 2a又，所以的取值范围为10 分0a a22 2,)23【选修 45：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数()22()f xxkxkR（1）若，求不等式的解集；4k 2()24f xxx（2）设，当时都有，求的取值范围4k 1,2x 2()24f xxxk23解析：（1）因为，所以，所以1 分4k()242f xxx32,2()6,2232,2xxf xxxxx 当时，由，得，即，得2x 2()24f xxx23224xxx220 xx 12x 所以不等式无解2 分当时，由，得，即，得22x 2()24f xxx2624xxx23100 xx25x 所以3 分22x 当时，由，得，即，得，2x 2()24f xxx23224xxx2560 xx 16x 所以4 分26x综上所述，不等式的解集为：5 分2()24f xxx|26xx（2）因为，所以，6 分4k 22k因为，所以，7 分 1,2x()32f xxk 因为在上恒成立，2()24f xxx 1,2所以，即，8 分23224xkxx220 xxk令，2()2(1,2)g xxxkx 依题意可知恒成立，所以，即，9 分()0g x(2)0g8k所以的取值范围为10 分k(,8