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2021-2022学年高中数学 第1章 预备知识 4.1 一元二次函数巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 预备知识 4.1 一元二次函数巩固练习北师大版必修第一册

年级：
姓名：

4.1　一元二次函数
课后训练·巩固提升
一、A组
1.一元二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则(　　)
A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1
解析:函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-m2,所以-m2=1,即m=-2.
答案:A
2.一元二次函数y=-x2+4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是(　　)
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析:由函数的图象顶点在x轴上,可知Δ=16+4t=0,得t=-4.
答案:A
3.函数y=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,函数值y随自变量x的增大而增大,当x∈(-∞,-2]时,函数值y随自变量x的增大而减小,则m等于(　　)
A.-4 B.-8 C.8 D.无法确定
解析:由题意,得函数的图象的对称轴为直线x=-2,即m4=-2,得m=-8.
答案:B
4.已知函数y=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,2]
C.[-1,2] D.[2,5)
解析:如图,一元二次函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数在x=2处取得最大值,即ymax=-4+4×2=4,又当x=5时,ymin=-5,由一元二次函数图象的对称性可知,x=-1时,y=-5,所以要使x∈[m,5]时的值域是[-5,4],需满足m∈[-1,2].

答案:C
5.函数y=x2+m的图象向下平移2个单位长度,得函数y=x2-1的图象,则实数m=　　　　　. 
解析:由题意,可知y=x2-1的图象向上平移2个单位长度,得函数y=x2+1的图象,即函数y=x2+m的图象,所以m=1.
答案:1
6.一元二次函数y=2x2-6x+1在区间[1,1]上的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　. 
解析:由题知,函数y=2x2-6x+1的图象的对称轴为直线x=32,图象开口向上,
∴函数在区间[-1,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数取最小值,即ymin=2-6+1=-3;当x=-1时,函数取最大值,即ymax=2×(-1)2-6×(-1)+1=9.
答案:-3　9
7.已知二次函数的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,对称轴是x=2,求此函数的解析式.
解:∵函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数图象被x轴截得的线段长为2,
∴函数图象与x轴交点的横坐标为1和3.
则可设函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵函数的图象过点(4,3),
∴有(4-1)×(4-3)a=3,即3a=3,得a=1.
故所求函数的解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x2-4x+3.
8.已知抛物线y=ax2+6x-8与一次函数y=-3x的图象相交于点A(1,m).
(1)求抛物线的解析式;
(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象?
解:(1)∵点A(1,m)在一次函数y=-3x的图象上,
∴m=-3×1=-3.
把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,解得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8.
(2)由(1)知,y=ax2=-x2.
∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,
∴把抛物线y=-x2+6x-8的图象向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到y=-x2的图象.
二、B组
1.已知一元二次函数y=x2-6x+8,x∈[1,a],且在x=a时取最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,6] B.(1,3] C.(1,4] D.(1,5]
解析:函数的图象的对称轴为直线x=3,又∵一元二次函数在x=a时取最小值,结合图象(图略)可得1范围是(　　)
A.[0,1] B.[0,2] C.[-2,0] D.[-1,0]
解析:y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2.
∵函数在区间[0,1]上的最大值是a2,
∴0≤-a≤1,即-1≤a≤0.
答案:D
3.函数y=(m-1)x2+2(m+1)x-1的图象与x轴只有一个交点,则实数m的取值集合为　　　　　. 
解析:当m=1时,y=4x-1,其图象和x轴只有一个交点14,0,当m≠1时,依题意,有Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,即m2+3m=0,解得m=-3,或m=0,所以实数m的取值集合为{-3,0,1}.
答案:{-3,0,1}
4.设函数y=x2+bx+c,若函数的图象经过点(-4,c),(-2,-2),则函数的解析式为　　　　　. 
解析:由已知得(-4)2-4b+c=c,(-2)2-2b+c=-2,解得b=4,c=2.
所以函数的解析式为y=x2+4x+2.
答案:y=x2+4x+2
5.已知一元二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为　　　　　. 

解析:由题图知,抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标是(3,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-1,0).
所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为x1=-1,x2=3.
答案:x1=-1,x2=3
6.已知二次函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同,且y2=g(x)=-2x2-x-2,y1=f(x)的图象的对称轴为直线x=-1,且过点(0,6).
(1)求函数y1=f(x)的解析式;
(2)求函数y1=f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值.
解:(1)由题意,设y1=f(x)=-2x2+bx+c,
∵y1=f(x)的图象的对称轴为直线x=-1,且过点(0,6),∴-b2×(-2)=-1,c=6,解得b=-4,c=6,
∴y1=f(x)=-2x2-4x+6.
(2)∵y1=f(x)=-2(x+1)2+8,x∈[-2,3],
∴x=-1时,y1取最大值8,x=3时,y1取最小值-24.
7.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线段表示,如图.

(注:年产量与销售量的单位:百台,纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)
(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系式;
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与年产量的函数关系式,并求年产量为多少时纯收益最大?
解:(1)由题图可设R=a(t-5)2+252,又t=0时,R=0,
∴(0-5)2a+252=0,解得a=-12.
∴R=-12(t-5)2+252(0≤t≤5).
(2)纯收益y=-12t2+5t-0.5-14t=-12t2+194t-12,
∴当t=194=4.75时,y取得最大值10.78.
故年产量为475台时,纯收益最大,最大为10.78万元.