江苏省无锡市2021届高三数学下学期开学教学质量检测试题.doc

江苏省无锡市2021届高三数学下学期开学教学质量检测试题

江苏省无锡市2021届高三数学下学期开学教学质量检测试题

年级：
姓名：

30

江苏省无锡市2021届高三数学下学期开学教学质量检测试题（含解析）
(总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．设集合M=，，则M∩N＝（ ）
A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，+∞) D．(1，+∞)
2．复数的虚部为（ ）
A．1 B．－1 C． －i D． i
3．函数f(x)＝的大致图象为（ ）

4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、并、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、并、丁、戊所得依次为等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，戊所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A． 23天 B． 33天 C． 43天 D． 50天
7．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．

8．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． (0，1)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
10．已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．≥的解为
D．方程在上有2个解
11．如图，正四棱锥S－BCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥A－SBE底面边长与侧棱长均为a，则下列说法正确的是（ ）
A．AS⊥CD
B．正四棱锥S－BCDE的外接球半径为
C．正四棱锥S－BCDE的内切球半径为
D．由正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱

12．曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小
第II卷（非选择题 共90分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
1
2
3
P

1－q
q－q2
则X的数学期望为 ．
14． (1－2x)5(1＋3x)4 的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为___________.
15．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y= 2围成的封闭图形记为D，如图2中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，利用祖暅原理试求的体积为________．

图1 图2
16．若对于恒成立，当a=0时，b的最小值为 ；当a>0时，的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）求∠C；
（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使，求线段BD的长度.
注：如果选择多个条件解得，按第一个解答计分.

18．(本小题满分12分)
已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前26项和．

19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA^平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，PB∥平面MAC．
（1）求证：平面MAC^平面PAD；
（2）若PA＝3，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值．

20.(本小题满分12分)
已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：
综合评价成绩（单位：分）
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？

综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成

不赞成

合计

（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
P
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879

21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：过点点(2，－1)，离心率位，抛物线的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．
（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；
（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；
（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．

22.(本小题满分12分)
已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数m的取值范围．

无锡市2021届高三年级下学期教学质量检测试卷
数 学 试 题 2021.02
(总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．设集合M=，，则M∩N＝（ ）
A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，+∞) D．(1，+∞)
【答案】B

2．复数的虚部为（ ）
A．1 B．－1 C． －i D． i
【答案】A

3．函数f(x)＝的大致图象为（ ）

【答案】A
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、并、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、并、丁、戊所得依次为等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，戊所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
【答案】D

5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C

6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A． 23天 B． 33天 C． 43天 D． 50天
【答案】B

7．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】D

8．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． (0，1)
【答案】C

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BC
10．已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．≥的解为
D．方程在上有2个解
【答案】AC
11．如图，正四棱锥S－BCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥A－SBE底面边长与侧棱长均为a，则下列说法正确的是（ ）
A．AS⊥CD
B．正四棱锥S－BCDE的外接球半径为
C．正四棱锥S－BCDE的内切球半径为
D．由正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱
【答案】ABD

所以可拼成一个三棱柱
12．曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小
【答案】AC

第II卷（非选择题 共90分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
1
2
3
P

1－q
q－q2
则X的数学期望为 ．
【答案】

14． (1－2x)5(1＋3x)4 的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为__________
【答案】-26

15．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y= 2围成的封闭图形记为D，如图2中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，利用祖暅原理试求的体积为________．

图1 图2
【答案】

16．若对于恒成立，当a=0时，b的最小值为 ；当a>0时，的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分)
【答案】1，

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）求∠C；
（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使，求线段BD的长度.
注：如果选择多个条件解得，按第一个解答计分.
【解析】

18．(本小题满分12分)
已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前26项和．
【解析】

19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA^平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，PB∥平面MAC．
（1）求证：平面MAC^平面PAD；
（2）若PA＝3，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值．

【解析】

20.(本小题满分12分)
已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：
综合评价成绩（单位：分）
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？

综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成

不赞成

合计

（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
P
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
【解析】（1）

（2）

21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：过点点(2，－1)，离心率位，抛物线的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．
（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；
（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；
（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
【解析】

22.(本小题满分12分)
已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】