1、
板块三.导数的应用
典例分析
题型三：函数的极值
【例1】 设函数，若当时，有极值为，则函数的单调递减区间为 ．
【例2】 函数，已知在时取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】 设，若函数有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】 函数的极大值与极小值分别是___________．
【例5】 函数的极大值是 ；极小值是 ．
【例6】 函数在有极大值，在有极小值是，则 ； ．
【例7】 曲线共有____个极值．
【例8】
2、求函数的单调区间与极值点．
【例9】 函数有极大值又有极小值，则的取值范围是 ．
【例10】 函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是 ．
【例11】 若函数有极大值又有极小值，则的取值范围是______．
【例12】 若函数，当时，函数取得极大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例13】 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例14】 有下列命题：
①是函数的极值点；
②三次函数有极值点的充要条件是；
③奇函数在区间
3、上是单调减函数．
其中假命题的序号是 ．
【例15】 已知函数的图象与轴切于非原点的一点，且，那么 ， ．
【例16】 求函数的单调区间与极值．
【例17】 求函数的单调区间与极值．
【例18】 求函数的单调区间与极值．
【例19】 用导数法求函数的单调区间与极值．
【例20】 已知函数，
⑴求的单调递减区间与极小值；
⑵求过点的切线方程．
【例21】 求函数的单调区间与极小值．
【例22】 已知函数，其中．
⑴当时，求曲线在点处的切线方程；
⑵当时，求函数的单调区间与极值．
【例23】 已知函数（），其中．
⑴当
4、时，求曲线在点处的切线的斜率；
⑵当时，求函数的单调区间与极值．
【例24】 设函数，其中．
⑴求的单调区间；⑵讨论的极值．
【例25】 设函数．
⑴ 若曲线在点处与直线相切，求的值；
⑵ 求函数的单调区间与极值点．
【例26】 已知函数．
⑴求函数的单调区间；⑵若函数的极小值大于，求的取值范围．
【例27】 已知函数和（为常数）的图象在处有平行切线．
⑴求的值；
⑵求函数的极大值和极小值．
【例28】 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示，求⑴的值；⑵的值．
【例29】 已知函数，
⑴当的极小值为时，求的值；
⑵若在区间上是减函数，求的
5、范围．
【例30】 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，
⑴求的值；⑵求函数的递减区间．
【例31】 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式．⑵求的单调递减区间与极小值．
【例32】 设和是函数的两个极值点．
⑴求的值；⑵求的单调区间．
【例33】 已知，函数．
⑴当时，求的单调递增区间；
⑵若的极大值是，求的值．
【例34】 设函数在，处取得极值，且．
⑴若，求的值，并求的单调区间；⑵若，求的取值范围．
【例35】 已知函数，在处取得极值．
⑴求函数的解析式；
⑵若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
⑶若为图象
6、上的任意一点，直线与的图象相切于点，
求直线的斜率的取值范围．
【例36】 已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
⑴ 求函数的解析式；
⑵ 设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
【例37】 设函数，其中．
⑴求证：当时，函数没有极值点；
⑵当时，求的极值．
⑶求证：当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
【例38】 设函数，
⑴若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
⑵证明：当时，没有极值．
⑶若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
【例39】 已知函数，其中．
⑴当，满足什么条件时，取得极值?
⑵已知
7、且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．
【例40】 已知函数的导函数的图象关于直线对称．
⑴ 求的值；
⑵ 若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域．
【例41】 已知函数在上有定义，对任何实数和任何实数，都有
⑴证明；
⑵证明，其中和均为常数；
⑶当⑵中的时，设，讨论在内的单调性并求极值．
【例42】 已知函数．
⑴ 当时，求函数的图象在点处的切线方程；
⑵ 若在上单调，求的取值范围；
⑶ 当时，求函数的极小值．
【例43】 已知函数，其中a为常数，且．
⑴若，求函数的极值点；
⑵若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【例44】 设函数（）．
⑴当时，求的极值；
⑵当时，求的单调区间．
【例45】 已知函数，，
⑴当时，求函数的极值；
⑵若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围．
【例46】 已知函数，其中实数．
⑴若，求曲线在点处的切线方程；
⑵若在处取得极值，试讨论的单调性．
【例47】 设．
⑴若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
⑵若函数在处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．
【例48】 已知函数与函数．
⑴若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值；
⑵设，求函数的极值．
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