三角函数有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式.doc

第四章　三角函数
第1讲　三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
考纲展示　命题探究

1　三角函数的有关概念
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
(2)角度与弧度的互化
①360°＝2π rad；②180°＝π rad；
③1°＝ rad；④1 rad＝°≈57.30°.
(3)弧长及扇形面积公式
①弧长公式：l＝|α|r；
②扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．
(4)任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝.
三角函数
定义
定义域
sinα

R
cosα

R
tanα

(5)三角函数在各象限的符号

记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(6)三角函数线
角所在
的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形

2　同角三角函数基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tanα＝.
3　诱导公式及记忆规律
(1)诱导公式

组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
—
—
(2)诱导公式的记忆规律
①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
②“奇”“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
③“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
注意点　应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取
(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．
(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.

1．思维辨析
(1)120°角的正弦值是，余弦值是－.(　　)
(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．(　　)
(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　)
(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　)
(5)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)
(6)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　D
解析　由三角函数的定义知cosα＝＝－.故选D.
3．(1)角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
答案　(1)C　(2)4　6π
解析　(1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．
2)弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.

　[考法综述]　对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．
命题法　三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用
典例　　(1)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为________．

(3)已知扇形周长为40，当它的半径r＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？
(4)已知cos＝，则sin＝________.
[解析]　(1)∵<α<，
∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，
∴cosα－sinα>0.
又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
∴cosα－sinα＝.
(2)点P(－，m)是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝.又sinθ＝m，
∴＝m.
又m≠0，∴m2＝5，
∴cosθ＝＝－.
(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
(4)∵＋＝－，
∴α－＝－－，
∴sin＝sin，
＝－cos＝－.
[答案]　(1)B　(2)－　(3)10　2　(4)－
【解题法】　同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤
(1)同角关系式的应用技巧
①弦切互化法：主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦函数．
②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ.
(2)使用诱导公式的原则和步骤
①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．
②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值．

1.若tanα＝2tan，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　＝
＝＝
＝
＝＝＝3，故选C.
2．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案　C
解析　∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，
c＝tan35°＝，
∴>sin35°>sin33°.∴c>b>a，选C.
3．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　)
A．2 B．1
C. D．3
答案　A
解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
答案　－8
解析　若角α终边上任意一点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝，又sinθ＝－，
∴＝－，且y<0，解得y＝－8.
5.若α∈，则的最大值为________．
答案　
解析　∵α∈，∴tanα>0，
∴＝＝＝≤，当且仅当tanα＝2时取等号．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.
故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.
(2)∵m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.

又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为.

已知角α的终边在直线2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值．
[错解]　

[错因分析]　直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解．
[正解]　在直线2x＋y＝0上取点(m,2m)(m≠0)
则r＝|m|，
当m>0时，r＝m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2.
当m<0时，r＝－m，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
[心得体会]　

………………………………………………
………………………………………………
　　时间：45分钟
基础组　
1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P(－a，－3a)，a≠0，则sinα＝(　　)
A.或 B.
C.或－ D.或－
答案　D
解析　当a>0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sinα＝－；当a<0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sinα＝.故选D.
2. [2016·衡水中学仿真]若sinα＋cosα＝(0<α<π)，则tanα等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　由sinα＋cosα＝，两边平方得
1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，
又2sinαcosα<0,0<α<π.
∴<α<π.∴sinα－cosα>0.
∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝.
由得∴tanα＝－.
3．[2016·枣强中学预测]设集合M＝·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案　B
解析　M＝＝，故当集合N中的k为偶数时，M＝N，当k为奇数时，在集合M中不存在，故M⊆N.
4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．0 D
答案　B
解析　由角θ的终边在直线2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝＝＝2.
5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
答案　A
解析　解法一：由sinα－cosα＝sin＝，
α∈(0，π)，解得α＝，∴tanα＝tan＝－1.
解法二：由sinα－cosα＝及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝＝＝－1，解得tanα＝－1(正值舍)．
6．[2016·武邑中学月考]已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵sin＝，cos＝－，∴角x的终边经过点，tanx＝－，∴x＝2kπ＋π，k∈Z，∴角x的最小正值为.
7. [2016·衡水中学热身]已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，则tan2x的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　因为f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝＝＝－，故选C.
8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　)
A．－ B.
C．± D.
答案　B
解析　sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，
又因为α∈，则cosα＝＝，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝.
9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC中，若sinA＋cosA＝，则tanA＝(　　)
A. B．－
C．－ D．±
答案　B
解析　解法一：因为sinA＋cosA＝，所以(sinA＋cosA)2＝2，所以1＋2sinAcosA＝，所以sinAcosA＝－.
又A∈(0，π)，所以sinA>0，cosA<0.
因为sinA＋cosA＝，sinAcosA＝－，所以sinA，cosA是一元二次方程x2－x－＝0的两个根，
解方程得sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝－.故选B.
解法二：由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinA＋cosA＝>0，所以|sinA|>|cosA|，所以0，cosα<0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.
11. [2016·武邑中学猜题]设f(α)＝，则f＝________.
答案　
解析　∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
能力组
12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　S扇＝|α|r2＝|α|×1＝，所以|α|＝.
13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin，则sinαcosα等于(　　)
A．－ B.
C.或－ D．－
答案　A
解析　因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin，
所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，
所以sinαcosα＝＝＝－.
14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sinα＋cosα＝m(0OP＝1.若α＝，则sinα＋cosα＝1.由已知090°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B.

15 / 15