云南省水富县云天化中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题-理.doc

云南省水富县云天化中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

云南省水富县云天化中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

年级：
姓名：

13

云南省水富县云天化中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（客观题）两部分，共4页。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的答案无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
开始
结束
S=1，i=1
S = S + 2i
i = i + 1
i > 4 ?
否
是
输出S
（第5题图）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
3．“”是“的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．从集合中任取一个元素，记为；从集合
中任取一个元素中，记为．事件发生的概率
为（ ）
A． B． C． D．
4
2
2
3
正视图
侧视图
俯视图
（第7题图）
5．执行右边的程序框图，输出结果为（ ）
A．15 B．31
C．32 D．63
6．在中，已知，，则
等于（ ）
A． B．2 C． D．4
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该
几何体的体积（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若曲线在点处的切线为，则（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
9． 已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．三棱锥中，底面为边长为6的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
O
x
y
A
B
N
M
l
（第11题图）
11．如右图，在平面直角坐标系中，已知点，
，射线与抛物线及直线
分别交于点，设，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是定义域为的非负可导函数，其导数满足，
记，，，则（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知实数满足则的最小值为 ．
14．若函数在区间上的值域为，则的取值范围为 ．
15．过双曲线的左焦点作圆的一条切线，记切点为，切线与双曲线的右支的交点为，若恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为 ．
16．设函数（R），若对任意的实数，不等式
都成立，则实数的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设为等差数列，其前项和记为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）
在中，分别是内角的对边，已知 ．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．

19．（本小题满分12分）
如图，在几何体中，平面，，且，为 的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
A
B
C
D
E
M

20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，求当的面积取得最大值时的值．

21．（本小题满分12分）
已知函数（R）．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若方程（R）恰好有两个实根（），求证：．

22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线．以坐标原点为极点、以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）写出圆的直角坐标方程及对应的参数方程；
（2）当直线经过点时，设与圆的两个交点为，求的值．

云天化中学2020—2021学年春季学期期中测试
高二年级理科数学 参考答案与评分标准
时限：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．B 2．C． 3．A 4．C 5．B 6．D
7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．B
【答案提示】
12．由得，即，记，则在递减．记，则，所以在上递减，又，，，所以．结合的单调性得，所以选B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
【答案提示】
16．，所以在R递减；又易知
，所以为奇函数．于是有

．记，则
．由不等式恒成立得 解得．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（1）由得，所以，公差，首项
，所以．………………6分
（2）．…………………8分
所以
．……………………………12分
18．解：（1）由条件结合正弦定理得．……………2分
整理得．………………………………………3分
所以，…………………………………5分
又，所以．……………………………………6分
（2）由条件得，即，所以．………8分
又因为，，所以．…10分
A
B
C
D
E
M
F
y
z
x
所以，得，所以．…………12分
19．（1）证明：取的中点，连接，．
因为分别是的中点，所以
．又因为，所以
，所以四边形为平行四
边形，所以．……………4分
又因为平面，平面，
所以平面．……………5分
（2）由，，得，所以．
如图建立空间直角坐标系，，，，
． ……………………6分
易知平面的一个法向量为．……………8分
设平面的一个法向量为，由，
得 可取．………………………………10分
所以，所以二面角的余弦值为．
………………………12分
20．解：（1）由题意得，，………………………………2分
所以，椭圆的方程为．……………………4分
（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得
．…………………………………………5分
由题意，，设，
则，．………………………………6分
弦长，点到直线的距离，
所以的面积……………7分
．……………………………………9分
令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意．………12分
21．解：（1）的定义域为，．…………………1分
当时，，所以在递增．…………………………2分
当时，，，所以在
递增，在递减． ………………………………………4分
综上：当时，在递增；当时，在递增，在递减． ………………………………………………5分
（2）【解法一】时，方程即为．记，
．可得在递减，在递增．…7分
由题意，可知．
． 因为，，在递增，故
只需证，即，亦即．①
构造函数
则，所以在递
减，得，故①式成立，所以成立．…………12分
【解法二】时，方程即为．由题意，
所以，变形得． ……………7分

． 令，则不等式即为
．① …………………………………………………9分
记，则，所以
在递增，所以．
故①式成立，所以成立．……………………………………………12分
22．解：（1）圆的直角坐标方程为．……………………………2分
圆的参数方程为（为参数）. ………………………4分
（2）易知直线的倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）.6分
把直线的参数方程代入圆的普通方程，得．……………7分
设对应的参数为，则，．……………………8分
所以．
…………………………………10分