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第四章一元二次方程教材解读
欢口育英初级中学：彭亚利
教材内容
本章共三节内容，主要介绍了一元二次方程的概念、一般形式、解法、根的判别式定理及其应用.
课标要求
1。理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
2。会用一元二次方程解决简单的实际问题,能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

4.1一元二次方程
对于一元二次方程的概念,教学中要注意两种形式概念的教学
（1）文字语言：让学生理解一元二次方程的三个条件:①整式方程 ② 含有一个未知数，③未知数的最高次数是2。
结合定义比较,讨论像 xy+x2=5 1/x2+x-2=0 X3-1=0 的方程就不是一元二次方程。
（2)符号语言：一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 、
①让学生理解 a≠0的意义, 引导学生发现像x（x+2）=x2+6这样的方程就不是一元二次方程。强调判断是不是一元二次方程要先化简，
②关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0) 要让学生能准确指出二次项系数、一次项系数、常数项。为后面学习公式法解方程做好铺垫。

4。2一元二次方程的解法
直接开平方法
直接开平方法比较简单，教学中要注意引导学生观察：
问题变化 方程形式变化
解方程 x2-4=0

求平方根 x2＝4
学生很容易理解就是将方程变形为x2＝a(a≥0）求平方根。

配方法
1.首先引导学生：将方程x2+6x+4=0转化为（x+3）2=5的形式.让学生体会将未知转化成已知的思想。
2。教学中配方是重点，让学生对照完全平方公式，理解两边都加上一次项系数一半的平方,目的是使方程左边成为完全平方式，化成（x +h)2=k的形式。
3.学习配方法解方程的过程中，易于出错，教学中要注意解题格式的规范性.
4。配方法解方程过程中，
配方的条件： 有：二次项（系数为1)、一次项。
缺：常数项
配方的方法： 补：常数项（加上一次项系数一半的平方）

公式法
1.利用学生已有的配方法解方程的经验，让学生自己用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0），通过探索去发现求根公式和公式的条件。

2。教学中,要淡化 的化简，以免增加学生学习的困难。
3.运用公式解方程前，可让学生先熟悉记忆公式，及公式的条件，这样更有利于用公式法解方程的教学。
4.公式法解方程简单易学,解题正确率高，几乎适用于所有的方程,因而教学中要让学生熟悉、规范解题步骤：①化成一般形式②确定a、b、c值③计算b2-4ac的值，并判断其符号④代入求根公式求解

一元二次方程根的判别式
1.在掌握公式法解方程的基础上，让学生动手解方程①x2+x-1=0 ②x2— 6x+9=0 ③ 2 x2—2x+1=0引导学生观察各方程根的情况，及b2—4ac的符号，归纳：
当b2-4ac〉0时 方程有两个不相等的实数根
当b2—4ac=0时 方程有两个相等的实数根
当b2-4ac〈0时 方程没有实数根
2。利用一元二次方程的根的判别式定理不解方程,判别方程根的情况较为容易,这部分知识也是下学期学习中,判断二次函数的图象与x轴的交点基础。
3.补充例题：k取什么值时，方程x2—kx+4=0两个相等的实数根?并求这时方程的根。
4。该部分内容在教学时难度控制在与课本相当的水平上不必做过多的拓展和引申。

因式分解法
1.因式分解法解方程的教学过程中，因式分解反而成为学生学习过程中的障碍，建议先复习因式分解，（可以将本节课所解方程中的要分解的式子作为复习练习题.如:x2-x x2+4x x+3—x(x+3) （2x-1)2-x2 2（x—1)+x(x—1） 9t2—（t-1)2等。
2.解形如(x+2）2=4(x+2)的方程易发生失根的错误，可让学生讨论，不必拓展.
3.因式分解法解方程时,要让学生充分把握该方法的条件： ①方程一边为0 ②另一边你会分解因式

选择适当的方法解方程
◆学完四种解法后,要让学生明白：四种解方程的方法各有特点：直接开平方法比较简便，但只有易化成x +h)2=k(k≥0）型的方程才适用；配方法适用于几乎所有方程，但使用时麻烦、易错;公式法简单、易学,解题 正确率高,适用 于几乎所有的方程,但解题时要化为一般形式；因式分解法快捷、不易出错，但只有少数方程适用.所以在选用适当的方法求解时，要认真观察方程的特征,可先选用直接开平方法或 因式分解法，其次选用公式法，配方法在规定时才使用。但配方法在其他数学知识（推导二次函数的顶点坐标公式等）中有着广泛的应用，是初中要求掌握的几种重要的数学方法之一。

4。3用一元二次方程解决问题
（1)用一元二次方程解决问题的关键是找出问题中的相等关系,列出方程。
（2)用一元二次方程解决问题时通常要经历以下过程：
列一元二次方程 解方程
实际问题 数学问题（方程） 方程的解

检验

课时整合
章节 教材课时　　　　　整合课时
• 4.1一元二次方程 　1课时　　　　　　1　　　　　　课时
• 4.2 一元二次方程的解法 　 6课时 　　　　4+2（习题课）课时
• 4.3 用一元二次方程解决问题 　　　　4课时 　3+1（习题课）　课时
• 小结 　2课时　　　　　　1（习题课）　课时
•

中考命题趋势及教学对策
◆一元二次方程的解法是初中数学中主要的工具之一,是数学的基础知识和基本技能，各地从不同侧面,不同角度对一元二次方程知识进行系统考查，大部分试题通过直接考查一元二次解的意义及解法突出对一元二次方程基础知识与基本技能的考查；各地普遍采用设置符合学生认知的实际问题情景的方式,考查学生列一元二次方程解决实际问题的能力，突出对数学建模和数学应用的考查.特别突出的是，部分试题注重利用方程的结果,对实际问题作出判断与预测，或对实际问题设计实施方案等，强化对数学应用本质的考查。
◆在实际教学中，要紧紧抓住一元二次方程中的几大考点:
①一元二次方程的概念及一般形式
②一元二次方程的四种解法
③ 一元二次方程根的判别式
④一元二次方程的应用

附:一元二次方程试题（2份）

一元二次方程试题（一）
一、选择题（每题3分，计24分）
1. (2011甘肃兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A.x2+1/x2=0 B。ax2+bx+c=0 C．(x—1)(x+2）=0 D．x2—2xy—5y2=0

2。 （2011四川南充市) 方程(x+1）(x－2）=x+1的解是（ ）
（A）2 （B）3 （C）－1，2 （D）－1，3

3. （2011甘肃兰州）用配方法解方程x2-2x—5=0时，原方程应变形为( )
A．(x+1)2=6 B． (x+2)2=9 C． （x—1)2=6 D． (x-2）2=9

4. (2011江苏泰州）一元二次方程x2=2x的根是 ( ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2
5. （2011江苏南通)已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ )
A.－2 B。 2 C。 5 D. 6
6。 (2011山东威海）关于x的一元二次方程x2+（m—2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）
A．0 B．8 C． D．0或8
7．（ 2011重庆江津）已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.a<2 B,a〉2 C.a〈2且a≠1 D.a〈－2·
8.(2011四川凉山州）某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为 127元，下面所列方程中正确的是( )
A．173（1-x%）2=127 B．173(1-2x％）2=127
C．173(1+x%)2=127 D．127(1+x%）2=173

二、填空题（每题3分，计24分）
9。 (2011广东株洲）孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确 解得x1=1，x2=2，则c的值为 ．
10。（2011江苏扬州)某公司4月份的利润为160万元,要使6月份的利润 达 到250万元，则平均每月增长的百分率是—--———

11.（2011淮安）一元二次方程x2—4=0的解是 .
12。（2011上海）如果关于x的方程x2—2x+m=0(m为常数)有两个相等实数根,那么m＝_____．
13。 （2011江苏镇江)已知关于x的方程x2+mx—6=0的一个根为2，则方程的另一根是___，
14。（2010 福建德化)已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程: ．
15. 2011山东泰安）方程2x2+5x—3=0的解是 。
16。 （2011山东滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为______.

三、解答题（17、18每题各5分.19、20题每题6分，计22分)
17. （2011江苏无锡）解方程: x2 + 4x − 2 = 0；

18。(2011江苏南京)解方程x2－4x＋1=0

19.（2010北京）已知关于x的一元二次方程x²—4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根．

20.(2010广东佛山）教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项.
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答。
（1）下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） 。
① ② ③
④ ⑤
（2）方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？

四、解答题（21、22、23、24、25每题各10分，计50分）
21.（2010 天津)注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案,此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg,2009年平均每公顷产9 680 kg,求该村水稻每公顷产量的年平均增长率。
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为。
（Ⅰ）用含的代数式表示:
① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；
（Ⅲ)解这个方程,得 ；
（Ⅳ)检验： ；
(Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 ％.

22。 （2011山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋"，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9。5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1)求每年市政府投资的增长率;
（2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

23. （2011浙江义乌)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元。 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元(用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

24. （2011四川广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。
（1)求平均每次下调的百分率.
（2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9。8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

25。 （2011湖北襄阳） 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计,2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆,到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？

一元二次方程试题（一）答案
一、 选择题：
1。C 2。D 3。C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A
二、 填空题：
9. 2 10. 25% 11. ±2 12。 1 13.—3 14.答案不唯一　　15. x1= -3,x2= 　 16。
三、 解答题
17. x = −2 ±．　18. x = 2 ±　　　　19。 m=5　 原方程的根为x1=x2=2。
20。 解：（1）答：①②④⑤ （每个1分）（2)若说它的二次系数为a（a≠0)，则一次项系数为-2a、常数项为-4a
21。 解：（Ⅰ)①；②；（Ⅱ）；（Ⅲ），;
（Ⅳ），都是原方程的根，但不符合题意，所以只取；　（Ⅴ）10 。
22.（1)50％　（2）38
23.（1） 2x 50－x （2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
24.(1）10%　　　　（2)方案①更优惠
25。12.5万

一元二次方程试题（二）
一、选择题（每题3分，计24分)
1。 (2011湖南湘潭市）一元二次方程的两根分别为( ）
A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3，5 D。3,5
2. （2011福建福州）一元二次方程根的情况是（ ）
A。有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C。只有一个实数根 D.没有实数根
3。 (2011山东滨州）某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B。
C。 289(1-2x)=256 D。256(1—2x）=289
4。 （2011台湾台北）若一元二次方程式的两根为0、2,则之值为（ ）
A．2 　　　B．5 　　　C．7　　　 D． 8
5. (2011山东济宁）已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a（a≠0)，则a－b的值为( )
A．－１ B．0 C．1 D．2
6.（自编题)近年来,全国房价不断上涨，丰县2011年4月份的房价平均每平方米为4600元， 比2009年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年房价的平均增长率均为，则关于的方程为( )
A． B．2000(1+x）2=4600
C．（4600—2000）（1+x)=4600 D．（4600—2000）（1+x）2=4600
7. （2011四川成都）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式n2-4mk的判断正确的是( ）
(A) (B) (C) （D)
8. (2011江西南昌分）已知x=1是方程x2+bx—2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1 B。2 C。-2 D.-1
二、填空题（每题3分,计24分）
9. (2011山东滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为______。
10。 （2011山东泰安）方程2x2+5x-3=0的解是 。
11。 （2011浙江衢州）方程的解为 .
12. （2011福建泉州）一元二次方程的解是
13。 (2011甘肃兰州）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数,a≠0），则方程的解是 。
14. （2011四川宜宾）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．
15。 （2011上海）某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
16．（2011江苏宿迁,16,3分）如图,邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 ▲ m（可利用的围墙长度超过6m)．
三、解答题(17、18、19 20、21每题各6分,计30分）
17. （2011山东聊城）解方程:
18。 (2011湖北武汉市)）解方程：x2＋3x＋1=0．

19．用配方法解方程：2x2—7x+6=0

20.（2010 广东珠海)已知x1=—1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2.

21。（2010 四川南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．

四、解答题（22、23、24每题10分,25题12分、计42分）
22. （2011安徽芜湖)如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为（)cm，正六边形的边长为（）cm.求这两段铁丝的总长.

23. （2011山东东营)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21。6万辆。
求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

24. (2010湖北襄樊）如图,是上海世博园内的一个矩形花园,花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么花园各角处的正方形观光休息亭的周长为多少米?

25。(2010江苏南京）（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售,根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元.
（1）填表（不需化简)
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80

40
销售量（件）
200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

一元二次方程试题（二)答案
一、选择题:
1。D 2。A 3.A 4。B 5。A 6。D 7.C 8。C
二、填空题：
9. 10. x1= —3，x2= 11. 12。 或
13. x1=－4，x2=－1 14. 20% 　 15. 20％ 16。1
三、解答题
17。x1=2 x2=-1 18. x1=－3＋,x2=－3－
19。 20。m=-4 x2=5
21。（1) （ 2) k＝－1时,,．（如果k＝－2，原方程为，解得，，．
22。 总长为420cm。　　　　　　　　　　　 　23。　 20％
24。　5米．　　　　　　　　　　　　　　　25。　70元