第六章定积分的应用.doc

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第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法
教学重点：元素法的思想
教学难点：元素法的正确运用
教学内容:
一、 再论曲边梯形面积计算
设在区间上连续，且,求以曲线为曲边,底为的曲边梯形的面积.

1．化整为零
用任意一组分点
将区间分成 个小区间，其长度为

并记
相应地,曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为.
于是
2．以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形,给出“零”的近似值

3．积零为整，给出“整”的近似值

4．取极限，使近似值向精确值转化

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：
（1)若将分成部分区间,则相应地分成部分量，而

这表明：所求量对于区间具有可加性。
(2)用近似，误差应是的高阶无穷小。
只有这样，和式的极限方才是精确值.故关键是确定

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤.
二、元素法
1．能用定积分计算的量，应满足下列三个条件
(1) 与变量的变化区间有关;
(2） 对于区间具有可加性;
（3） 部分量可近似地表示成。
2．写出计算的定积分表达式步骤
（1) 根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；
(2) 设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，
求出它所对应的部分量的近似值
（ 为上一连续函数）
则称为量的元素,且记作.
（3) 以的元素作被积表达式,以为积分区间，得

这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式

因此，也称此法为微元法。

小结：元素法的提出、思想、步骤

（注意微元法的本质）
作业：作业卡

第二节 平面图形的面积
教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积
教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算
教学难点:面积元素的选取
教学内容：
一、直角坐标的情形
由曲线 及直线 与 ( ） 与 轴所围成的曲边梯形面积.

其中：为面积元素。
由曲线 与 及直线 ，（ )且所围成的图形面积.

其中： 为面积元素。
例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积.
解：1、先画所围的图形简图
解方程 , 得交点： 和 。

2. 选择积分变量并定区间
选取为积分变量，则
3. 给出面积元素
在上，
在上，
4. 列定积分表达式

另解：若选取为积分变量，则

显然解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2 求椭圆所围成的面积 。
解:据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。

取为积分变量，则 ，

故 ( * )
作变量替换
则 ，
（ * ＊ ）

二、极坐标情形
设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。

取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。
的面积可近似地用半径为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即

从而得到了曲边梯形的面积元素
从而

例3 计算心脏线所围成的图形面积.
解： 由于心脏线关于极轴对称，

小结: 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积.
作业： 作业卡 P67~P68

第三节 体积
教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积
教学重点:体积的计算
教学难点：体积元素的选取
教学内容：
一、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体,该定直线称为旋转轴.
计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。

取为积分变量，则，对于区间上的任一区间它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积.即：体积元素为

所求的旋转体的体积为

例1 求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。
解：取为积分变量，则

二、平行截面面积为已知的立体的体积（ 截面法 ）
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。

取定轴为轴， 且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内， 以表示过点且垂直于轴的截面面积。
取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积.
即:体积元素为
于是，该立体的体积为
例2 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。
解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体.

在处，用垂直于轴的平面去截立体所得截面积为

例3 计算摆线的一拱

以及所围成的平面图形绕轴旋转而生成的立体的体积。

解:

请自行计算定积分

小结: 旋转体体积
平行截面已知的立体的体积
作业: 作业卡 P69

第四节 平面曲线的弧长
教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长，
教学重点：平面曲线弧长的计算
教学难点：弧长元素的选取
教学内容:
一、直角坐标情形
设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度.

取为积分变量,则，在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似.于是，弧长元素为

弧长为

例1 计算曲线的弧长.
解:

二、参数方程的情形
若曲线由参数方程

给出,计算它的弧长时，只需要将弧微分写成

的形式，从而有

例2 计算半径为的圆周长度。
解： 圆的参数方程为

三、极坐标情形
若曲线由极坐标方程

给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。
曲线的参数方程为

此时变成了参数,且弧长元素为

从而有

例3 计算心脏线的弧长。
解：

小结： 平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下
作业: 作业卡 P70

第五节 功、水压力和引力
教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题
功,水压力和引力
教学重点:如何将物理问题抽象成数学问题
教学难点：元素法的正确运用
教学内容:
一、变力沿直线所作的功
例1 半径为的球沉入水中,球的上部与水面相切，球的比重为 1 ,现将这球从水中取出，需作多少功?
解:建立如图所示的坐标系

将高为的球缺取出水面，所需的力为：
其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力.
由球缺公式 有

从而
十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功.
取为积分变量，则，对于上的任一小区间,变力从到这段距离内所作的功。

这就是功元素，并且功为

另解： 建立如图所示的坐标系

取为积分变量， 则 。在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为

由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为

将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 .
故功元素为

二、水压力
在水深为处的压强为,这里是水的比重。
如果有一面积为的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为

若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时,平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。
例2边长为和的矩形薄板,与水面成角斜沉于水中,长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。

解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是

取为积分变量， 则 （注意: 表示水深)
在中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是

它所承受的水压力约为

于是,压力元素为

这一结果的实际意义十分明显，正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力,而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为处所受的水压力。
三、引力
由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为

为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。
例3 设有一半径为, 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点, 试求这细棒对质点的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系.

解:建立如图所示的坐标系,质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为

在圆弧细棒上截取一小段，其长度为,它的质量为,到原点的距离为，其夹角为，它对质点的引力的大小约为

在水平方向（即轴）上的分力的近似值为

而
于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力的元素，

故

类似地

因此，引力的大小为，而方向指向圆弧的中心。
小结 利用“微元法"思想求变力作功、水压力和引力等物理问题