2019届高考数学一轮复习-第二章-函数-第四节-二次函数与幂函数-文.ppt

节二次函数与幂函数总纲目录教材研读1.二次函数考点突破2.幂函数考点二二次函数的图象与性质考点一求二次函数的解析式考点三三个“二次”间的转化考点四幂函数的图象与性质1.二次函数二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).教材研读教材研读(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质a0a0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都通过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都通过点(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.函数特征性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)x|xR且x0值域R0,+)R0,+)y|yR且y0奇偶性奇奇偶奇奇非奇非偶奇奇单调性增增x0,+)时,增,x(-,0时,减增增增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减定点(0,0),(1,1)(1,1)(4)五种常见幂函数的性质1.y=x2-6x+5的单调减区间为()A.(-,-3B.(-,3C.-3,+)D.3,+)答案答案By=x2-6x+5=(x-3)2-4,表示开口向上,对称轴为直线x=3的抛物线,其单调减区间为(-,3,故选B.B2.函数g(x)=x2-2x(x0,3)的值域是()A.0,3B.-1,3C.-1,0D.1,3B答案答案B由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,得g(x)在0,1上是减函数,在1,3上是增函数.所以g(x)min=g(1)=-1,而g(0)=0,g(3)=3.所以g(x)在x0,3上的值域为-1,3,故选B.3.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的取值范围为()A.a-5B.a5C.a-5D.a5C答案答案Cy=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-,a-5,故选C.4.下图是y=xa;y=xb;y=xc,在第一象限内的图象,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.acbc且a+b+c=0,则它的图象可能是()命题方向一二次函数图象的识别命题方向一二次函数图象的识别D答案答案D解析解析由abc且a+b+c=0,得a0,c0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c0,所以排除B,故选D.典例典例3已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)求使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.命题方向二二次函数的单调性问题命题方向二二次函数的单调性问题解析解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-=-a,要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.故a的取值范围是(-,-64,+).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=其图象如图所示.x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1)和0,1)上为减函数,在区间-1,0)和1,6上为增函数.探究探究1若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围.解析解析f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,-a-4,即a4.探究探究2若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),则a为何值?解析解析f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),-a=-4,即a=4.典例典例4已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为()A.2B.-1或-3C.2或-3D.-1或2命题方向三二次函数的最值问题命题方向三二次函数的最值问题D答案答案D解析解析函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为直线x=a,且图象开口向下,分三种情况讨论如下:当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在(a,1上是减函数,f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=或a=,01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,a=2.综上可知,a=-1或a=2.规律总结规律总结1.确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置;三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点,函数图象的最高点或最低点等.从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.2.二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.2-1已知abc0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()D答案答案DA项,a0,-0,b0,c0,而f(0)=c0,故A错.B项,a0,b0.又abc0,c0,故B错.C项,a0,-0.又abc0,c0,而f(0)=c0,-0,b0,c0,而f(0)=c0,故选D.2-2已知函数f(x)=x2-2x,若x-2,a,求f(x)的最小值.解析解析函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数图象的对称轴为直线x=1,x=1不一定在区间-2,a内,应进行讨论,当-21时,函数在-2,1上单调递减,在1,a上单调递增,则当x=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-1.综上,当-21时,f(x)min=-1.典例典例5若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围.考点三三个考点三三个“二次二次”间的转化间的转化解析解析(1)由f(0)=1得c=1.f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,因此,f(x)=x2-x+1.(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得m-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1)1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.规律总结规律总结2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种思路解题,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.3-1当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是.(-,-5答案答案(-,-5解析解析设f(x)=x2+mx+4,当x(1,2)时,不等式x2+mx+40.30.2B.1.250.2D.1.70.30.93.1考点四幂函数的图象与性质考点四幂函数的图象与性质(2)(2018河北石家庄质检)若(a+1(3-2a,则实数a的取值范围是.答案答案(1)D(2)解析解析(1)A中,函数y=x0.2在(0,+)上为增函数,0.20.3,0.20.2;C中,0.8-1=1.25,y=1.25x在R上是增函数,0.10.2,1.250.11.250.2,即0.8-0.11,0.93.10.93.1.故选D.(2)易知函数y=的定义域为0,+),且在定义域内为增函数,所以解得-1a0;若在(0,+)上单调递减,则0.2.比较幂值大小的常见类型及解决方法(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较.(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较.(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断.4-1已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nZ)在(0,+)上是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2B答案答案B由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.当n=1时,f(x)=x-2=在(0,+)上是减函数;当n=-3时,f(x)=x18在(0,+)上是增函数.故n=1符合题意,故选B.