(北京专用)2019版高考数学一轮复习-第五章-平面向量-第二节-平面向量的基本定理及坐标表示-理.ppt

节平面向量的基本定理及坐标表示总纲目录教材研读1.平面向量的基本定理考点突破2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算考点一平面向量基本定理及其应用考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示教材研读教材研读1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底.2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设ax1,y1),b=(x2,y2)(b0),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐标的求法(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),|=.3.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),则abx1y2-x2y1=0.1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.A答案答案AA(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,与同向的单位向量为=.故选A.2.(2018北京海淀期中,3)已知向量a=(1,0),b=(-1,1),则()A.abB.abC.(a-b)bD.(a+b)aD答案答案Da+b=(0,1),又(a+b)a=0,(a+b)a,故选D.3.在平面直角坐标系xOy中,向量=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则()A.m=-4B.m-4C.m1D.mRB答案答案B因为O,A,B三点能构成三角形,所以向量与不共线,所以,即m-4.4.设e1,e2是平面内一组基底,若1e1+2e2=0,则1+2=0.答案答案0解析解析假设10,由1e1+2e2=0,得e1=-e2,e1与e2共线,这与e1e2是平面内一组基底矛盾,故1=0,同理,2=0,1+2=0.5.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B是直线y=2x上的一个动点,若a,则点B的坐标为(-3,-6).答案答案(-3,-6)解析解析设点B的坐标为(x,2x),则=(x-3,2x),a,(x-3)1-2x1=0,x=-3,故点B的坐标为(-3,-6).6.(2017北京朝阳期中)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若ab,则y=-4.解析解析a=(1,2),b=(-2,y),ab,1y=2(-2),y=-4.答案答案-4考点一平面向量基本定理及其应用考点一平面向量基本定理及其应用考点突破考点突破典例典例1(1)已知e1,e2为平面上的单位向量,e1与e2的起点均为坐标原点O,e1与e2的夹角为,平面区域D由所有满足=e1+e2的点P组成,其中那么平面区域D的面积为()A.B.C.D.(2)在ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则实数t的值为.D答案答案(1)D(2)解析解析(1)如图,设=e1,=e2,则=e1+e2=+,当+=1时,0,0表示点P在线段AB上,所以+1,0,0表示点P在正三角形OAB上或其内部,故平面区域D的面积等于以1为边长的正三角形的面积,即为.(2)因为=+,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P为AB的一个三等分点(靠近A点)又因为A,M,Q三点共线,设=,所以=-=-=-=+,又=t=t(-)=t=-t,故解得故t的值是.规律总结规律总结(1)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)平面上A、B、C三点共线的充要条件:对于平面内任意一点P,存在唯一的一对实数x,y,使=x+y,且x+y=1.1-1在ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s=()A.B.C.-3D.0答案答案D由题意知=(-)=-,又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0,故选D.D1-2已知M为ABC所在平面内的一点,且=+n.若点M在ABC的内部(不含边界),则实数n的取值范围是.解析解析根据平面向量基本定理可知,当n+=1时,M点在直线BC上,又点M在ABC的内部(不含边界),n0,且n+1,0n,n的取值范围是.答案答案典例典例2(1)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=4,CD=4.点P在线段AD上运动,则|+|的取值范围是()A.6,4+4B.4,8C.4,8D.6,12考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算C(2)如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=+,则+的最大值为3.解析解析(1)以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-4,0)B(4,0),C(2,2),D(-2,2).由题意可知向量与向量共线,设P(p,p+4)(-4p-2),则=(-4-p,-p-4),=(4-p,-p-4),|+|=4=4(-4p-2),|+|4,8,故选C.(2)以A为原点,AB、AD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x0,2,=(2,2),=(2,-2),=(x,2),答案答案(1)C(2)3+=,令f(x)=(0 x2),f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=3,即+的最大值为3.方法技巧方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解.2-1如图,在66的网格中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,yR),则=.答案答案解析解析以小正方形的边长为长度单位建立如图所示的平面直角坐标系,则有a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),又c=xa+yb,所以解得所以=.2-2如图,在四边形ABCD中,BAD=90,ADC=120,AD=DC=2,AB=4,动点M在BCD内(含边界)运动,设=+,则+的取值范围是.解析解析以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意知B(4,0),D(0,2),C(,3),设M(x,y),则有答案答案+=+,设目标函数z=+.由于点M在BCD内(含边界)运动,所以当目标直线经过线段BD上任意一点时,z取最小值1;当目标直线经过点C(,3)时,z取最大值+,即+的取值范围为.典例典例3平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k.考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示解析解析(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.规律总结规律总结1.向量共线的两种表示形式若ab(b0),则a=b;x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标时应用.2.与向量共线有关的题型(1)证三点共线;(2)已知两向量共线,求相关参数.解决第(1)种问题时,可先证明相关两向量共线,再说明两向量有公共点;解决第(2)种问题时,可先利用向量共线的充要条件列方程(组),再求解.