《等比数列及其前n项和》高考复习参考.ppt

1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前掌握等比数列的通项公式与前n项和公式项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系等比数列的相关概念等比数列的相关概念思考探究思考探究(1)数列数列a，a2，a3，an，一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？提示：提示：当当a0时，该数列不是等比数列时，该数列不是等比数列(2)b2ac是是a，b，c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？提示：提示：b2ac是是a，b，c成等比数列的必要不充分条件成等比数列的必要不充分条件.当当b0时，时，a，c至少有一个为至少有一个为0，此时，此时b2ac，但，但a，b，c不成等比数列，反之，若不成等比数列，反之，若a，b，c成等比，则必有成等比，则必有b2ac.1已知已知an是等比数列，是等比数列，a22，a5，则公比，则公比q()AB2C2D.解析：解析：由通项公式及已知得：由通项公式及已知得：a1q2，a1q4，由得由得q3，解得，解得q.答案：答案：D2在正项等比数列在正项等比数列an中，中，a1和和a19为方程为方程x210 x160的两根，则的两根，则a8a10a12()A32B64C64D256解析：解析：由已知可得由已知可得a1a1916，而，而an为正项等比数为正项等比数列，所以列，所以a104.故故a8a10a1264.答案：答案：C3在等比数列在等比数列an中，前中，前n项和为项和为Sn，若，若S37，S663，则公比则公比q的值是的值是()A2B2C3D3解析：解析：S37，S663，1q39，q38，q2.答案：答案：A4在数列在数列an，bn中，中，bn是是an与与an1的等差中项，的等差中项，a12，且对任意且对任意n N*，都有，都有3an1an0，则，则bn的通项公式的通项公式 bn_.解析：解析：a12,3an1an0，an是以是以2为首项，以为首项，以为公比的等比数列，为公比的等比数列，ana1qn12()n1.又又 bn是是an与与an1的等差中项，的等差中项，bn(anan1)().答案：答案：5若等比数列的公比为若等比数列的公比为2，且前，且前4项和为项和为1，则这个等比，则这个等比数列的前数列的前8项和为项和为_解析：解析：由题意可知，由题意可知，S8S4a8a7a6a5q4(a1a2a3a4)24，所以前，所以前8项和等于项和等于17.答案：答案：17等比数列的判定方法有：等比数列的判定方法有：1定义法：若定义法：若q(q为非零常数为非零常数)或或q(q为非零为非零常数且常数且n2)，则则an是等比数列是等比数列2中项公式法：若数列中项公式法：若数列an中，中，an0且且anan2(n N*)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均均为不为为不为0的常数，的常数，n N*)，则，则an是等比数列是等比数列4前前n项和公式法：若数列项和公式法：若数列an的前的前n项和项和Snkqnk(k为为常数且常数且k0，q0,1)，则，则an是等比数列是等比数列特别警示特别警示(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定而后两种方法常用于选择、填空中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可的连续三项不成等比即可数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若anSnn，cnan1.求证：数列求证：数列cn是等比数列是等比数列思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记 a1S1，anSnn a1S11，得，得a1，c1a11，又又an1Sn1n1，得得2an1an1，即即2(an11)an1，即即，即，即，cn是以是以为首项，以为首项，以为公比的等比数列为公比的等比数列若将若将“cnan1”改为改为“c1a1，且，且cnanan1(n2)”，试判断数列，试判断数列cn是否还是等比数列？是否还是等比数列？解：解：由例题可知，由例题可知，2an1an1，2anan11(n2)，2(an1an)anan1，即，即2cn1cn(n2).又又 c1a1，a2S22，a2a1a22，即，即a2，c2a2a1，即，即.数列数列cn是首项为是首项为，公比为，公比为的等比数列的等比数列.1.在等比数列在等比数列an的通项公式和前的通项公式和前n项和公式中共有五个项和公式中共有五个量：量：a1，q，n，an，Sn，一般可以，一般可以“知三求二知三求二”，通过，通过列方程组求解列方程组求解2在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数列的性质，这样可以大大简化运算，提高效率列的性质，这样可以大大简化运算，提高效率特别警示特别警示在使用等比数列的前在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公项和公式时，应根据公比比q的情况进行分类讨论，切不可忽视的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目套用的取值而盲目套用求和公式求和公式(2009辽宁高考辽宁高考)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn.已知已知S1，S3，S2成等差数列成等差数列(1)求求an的公比的公比q；(2)若若a1a33，求，求Sn.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)依题意有依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)由于由于a10，故，故2q2+q=0.又又q0，从而，从而q=-.2)由已知可得由已知可得a1-a1(-)2=3，故故a1=4，从而从而Sn=1-(-)n若将例题条件中的若将例题条件中的“S1，S3，S2成等差数列成等差数列”改为改为“a1，a3，a2成等差数列成等差数列”，试求，试求an的公比的公比q.解：解：依题意有依题意有a1a1q2a1q2，又又 a10，1q2q2，解之得，解之得，q1或或q.1.等比数列的单调性等比数列的单调性设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q.(1)当当q1，a10或或0q1，a10时，数列时，数列an为递增为递增数列；数列；(2)当当q1，a10或或0q1，a10时，数列时，数列an为递减为递减数列；数列；(3)当当q1时，数列时，数列an是是(非零非零)常数列；常数列；(4)当当q0时，数列时，数列an是摆动数列是摆动数列.2通项特征通项特征(1)等比数列的通项公式等比数列的通项公式ana1qn1可推广为可推广为anamqnm；(2)若若mnpq，则，则amanapaq(m，n，p，q N*)；(3)当当an是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项之积积都相等，都等于首末两项之积3前前n项和的性质项和的性质设设Sn是等比数列是等比数列an的前的前n项和，则项和，则(1)Sn，S2nSn，S3nS2n满足关系式满足关系式(S2nSn)2Sn(S3n S2n)(2)若数列若数列an的项数为的项数为2n，则，则q，其中，其中S偶偶，S奇奇分别是分别是数列的偶数项之和与奇数项之和数列的偶数项之和与奇数项之和4其他性质其他性质(1)若数列若数列an，bn是等比数列，是等比数列，c为常数，则为常数，则can，|an|，anbn，等也是等比数列等也是等比数列(2)等比数列等比数列an中每隔中每隔k项取出一项，按原来的顺序排成项取出一项，按原来的顺序排成一个新数列，则该数列仍为等比数列一个新数列，则该数列仍为等比数列(1)已知等比数列已知等比数列an中，中，a1a2a37，a1a2a38，求，求an；(2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三，后三个数成等比数列，其最后一个数为个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数，求此四个数思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)法一：法一：数列数列an为等比数列，为等比数列，a1a2a3=，又又a1a2a3=8，a2=2，a1+a3=5.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q，则，则解之得解之得q=2或或，an=22n-2或或an=2()n-2，即即an=2n-1或或an=23-n.法二：法二：设设an的公比为的公比为q，由题意知，由题意知解得解得或或 an2n1或或an23n.(2)设前三个数分别为设前三个数分别为ad，a，ad(d为公差为公差)，由题意知，由题意知，(ad)a(ad)48，解得解得a16.又又 后三个数成等比数列，即后三个数成等比数列，即16,16d,25成等比数列，成等比数列，(16d)21625，解之得，解之得，d4，或，或d36.因四个数均为正数，故因四个数均为正数，故d36应舍去，应舍去，所以所求四个数依次是所以所求四个数依次是12,16,20,25.以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义及相关性质的应用以及以解答题的形式综合考查等差及相关性质的应用以及以解答题的形式综合考查等差数列和等比数列的综合应用是高考对该部分内容的常数列和等比数列的综合应用是高考对该部分内容的常规考法规考法.09年山东高考将等比数列与指数函数相结合命年山东高考将等比数列与指数函数相结合命题，既考查了等比数列的有关运算，又考查了数列的题，既考查了等比数列的有关运算，又考查了数列的函数性质，题型新颖，能考查学生对数学知识间横向函数性质，题型新颖，能考查学生对数学知识间横向联系的理解和应用，是一个新的考查方向联系的理解和应用，是一个新的考查方向考题印证考题印证(2009山东高考山东高考)(12分分)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知对任意的已知对任意的n N*，点，点(n，Sn)均在函数均在函数ybxr(b0且且b1，b，r均为常数均为常数)的图象上的图象上(1)求求r的值；的值；(2)当当b2时，记时，记bn(n N*)，求数列，求数列bn的前的前n 项和项和Tn.【解解】(1)由题意，由题意，Snbnr，当当n2时，时，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，(2分分)由于由于b0且且b1，所以所以n2时，时，an是以是以b为公比的等比数列为公比的等比数列又又a1br，a2b(b1)，b，即，即b，解得解得r1.(4分分)(2)由由(1)知，知，n N*，an(b1)bn12n1，所以所以bn(6分分)Tn Tn(8分分)两式相减得两式相减得故故Tn(12分分)自主体验自主体验已知已知f(x)是定义在是定义在R上的函数，上的函数，f(1)1，且，且x1，x2 R，总有，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立恒成立(1)求证：函数求证：函数f(x)1是奇函数；是奇函数；(2)若若n N*，有，有an，bnf()1，求，求Sna1a2a2a3anan1和和Tnb1b2b2b3bnbn1.解：解：(1)证明：令证明：令g(x)f(x)1(x R)，x1，x2 R，总有，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立，恒成立，x1，x2 R，总有，总有f(x1x2)1f(x1)1f(x2)1恒成恒成立立即即g(x1x2)g(x1)g(x2)(x1，x2 R)，令令x1x20，则有，则有g(0)0.令令x1x，x2x(x R)，则有，则有g(0)g(x)g(x)0g(x)g(x)(x R)，故函数故函数f(x)1是奇函数是奇函数(2)f(x1x2)f(x1)f(x2)1，f(n1)1f(n)f(1)f(n)2(n N*)，即数列即数列f(n)是以是以2为公差，为公差，1为首项的等差数列为首项的等差数列 f(n)2n1.an，bnf()1.Sna1a2a2a3anan11已知等比数列已知等比数列an满足满足a1a23，a2a36，则，则a7()A64B81C128D243解析：解析：an是等比数列，是等比数列，2，又，又 a1a1q3，a11，那么，那么a7a1q612664.答案：答案：A2(2010黄冈模拟黄冈模拟)在等比数列在等比数列an中，已知中，已知a1a3a118，则则a2a8等于等于()A16B6C12D4解析：解析：由由a1a3a118 q128(q为公比为公比)，即，即a1q42，a2a8(a1q4)24.答案：答案：D3(2010邢台模拟邢台模拟)已知已知2，a，b，c,4成等比数列，则实成等比数列，则实数数b等于等于()A2B2CD8解析：解析：2，a，b，c,4成等比数列，成等比数列，b2248，b2，2，b,4同号，同号，b2.答案：答案：A4在正项数列在正项数列an中，中，a12，点，点()(n2)在直线在直线x 0上，则数列上，则数列an的前的前n项和项和Sn_.解析：解析：点点()(n2)在直线在直线x0上，上，即即2(n2)an为公比为为公比为2的等比数列，的等比数列，又又 a12，Sn2n12.答案：答案：2n125已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若Sn 2，S2n14，则，则S3n等于等于_解析：解析：an为正项等比数列，为正项等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即1222(S3n14)，得，得S3n86.答案：答案：866设数列设数列an，a1，若以，若以a1，a2，an为系数的二为系数的二次方程次方程an1x2anx10(n N*且且n2)都有根都有根、满足满足3 3 1.(1)求证：求证：an为等比数列；为等比数列；(2)求求an；(3)求求an的前的前n项和项和Sn.解：解：(1)证明：证明：将将，代入代入3 31，得，得an，为定值为定值又又a1，数列数列an是以首项为是以首项为，公比为，公比为的等比数列的等比数列