1、节二次函数与幂函数总纲目录教材研读1.二次函数考点突破2.幂函数考点二二次函数的图象与性质考点二二次函数的图象与性质考点一幂函数的图象与性质考点三二次函数在闭区间上的最值考点三二次函数在闭区间上的最值1.二次函数二次函数(1)二次函数的定义二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).教材研读教材研读(3)二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图
2、象和性质的图象和性质2.幂函数幂函数(1)幂函数的定义幂函数的定义形如y=x的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数.(2)五种常见幂函数的图象五种常见幂函数的图象(i)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都通过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当cbaB.abcdC.dcabD.abdc答案答案B根据幂函数的性质及图象知选B.B3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是()A.B.C.D.答案答案C函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,解得a.C4.已知f(x)=4x2-mx+5在2,+)上是增函数,则实数m的
3、取值范围是.答案答案(-,16解析解析因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为,所以2,即m16.(-,165.(2017北京石景山一模)已知函数f(x)=若f(a)f(2-a),则a的取值范围是.答案答案a1解析解析当x0时,f(x)=x2+x,易知f(x)在0,+)上单调递增;当xf(2-a),a2-a,解得a1.a1典例典例1(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)当0 xg(x)f(x)解析解析(1)设幂函数的解析式为f(x)=xa,幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),2=4a,解得a=.f(x)=,其定义域为0,+),且是增函
4、数,当0 x1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C.(2)函数f(x),g(x),h(x)在0,+)上的图象如图所示,由此可知当0 xg(x)f(x).规律总结规律总结(1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性可作出幂函数在定义域内完整的图象.(2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的数的特征,合理引入幂函数,利用幂函数的单调性进行比较.1-1已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且x(0,+)时,f(x)是增函数,则m的值为()A.-1B.2C.-1或2D.3答案答案B函
5、数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又函数f(x)在(0,+)上为增函数,m2+m-30,m=2.B1-2设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.答案答案acb解析解析y=(x0)为增函数,ac.y=(xR)为减函数,b.acb.acb1-3若(a+1(3-2a,则实数a的取值范围是.答案答案解析解析易知函数y=的定义域为0,+),函数在定义域内为增函数,所以解得-1a0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.当1,即a1时,f(x)在上递减,在上递增,f(x)min=f=-=-.当1,即0a1时,f(x)在0,1上递
6、减.f(x)min=f(1)=a-2.当a0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解析解析(1)由f(0)=1得c=1.f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,因此,f(x)=x2-x+1.(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得m0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(2,+)C.(0,+)D.(0,4)A答案答案A二次函数的图象开口向上,对称轴为x=.x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒成立,即f(x)min0.当-1,即a-2时,f(x)min=f(-1)=1+a+0,解得a-,与a-2矛盾;当1,即a2时,f(x)min=f(1)=1-a+0,解得a2,与a2矛盾;当-11,即-2a0,解得0a2.综上可得,实数a的取值范围是(0,2),选A.
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