全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用考点总结.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用考点总结全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用考点总结 单选题 1、在锐角 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinsin3sin=cos+cos，且=34(2+2 2)，则2+的取值范围是（）A(6,23B(6,43C12,33)D3,2)答案：D 分析：根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出+的范围即可计算作答.在锐角 中，由余弦定理及三角形面积定理得：=34(2+2 2)=32cos=12sin，即有tan=3，而 (0,2)，则=3，又sinsin3sin=cos+cos，由正弦定理、余弦定理得，323=2+222+2+222，化简得：=23，由正弦定理有：sin=sin=sin=2332=4，即=4sin，=4sin，是锐角三角形且=3，有 (0,2)，=23 (0,2)，解得 (6,2)，因此+=4(sin+sin)=4sin+sin(23)=4(sin+32cos+12sin)=43sin(+6)，由 (6,2)得：+6(3,23)，sin(+6)(32,1，所以2+=1243sin(+6)3,2)故选：D 小提示：思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.2、在 中，角，所对的边分别为，若=5，=2，cos=23，则等于（）A2B3C2D3 答案：D 分析：根据余弦定理2=2+2 2cos，将已知量代入即可解得答案.根据余弦定理得2=2+2 2cos，即5=2+4 2 2 23，亦即283 1=0，解得=3或=13（舍去）.故选：D.3、定义空间两个向量的一种运算 =|sin,，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A()=()B()=()C(+)=()+()D若 =(1,1)，=(2,2)，则 =|12 21|答案：D 分析：A按的正负分类讨论可得，B由新定义的意义判断，C可举反例说明进行判断，D与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断 A()=|sin，0时，=，()=|sin=()，=0时，()=0,()=0，成立，0时，=，sin=sin()=sin ()=|sin=()，综上，A 不恒成立；B 是一个实数，()无意义，B 不成立；C若 =(0,1),=(1,0)，=(1,1)，则 +=(1,1)，=0，(+)=|+|sin0=2 2 0=0，=4,=4，()+()=1 2 sin4+1 2 sin4=2，(+)()+()，C 错误；D若 =(1,1)，=(2,2)，则|=12+12，|=22+22，cos=12+1212+1222+22，sin=1 cos2=1(12+12)2(12+12)(22+22)=|1221|(12+12)(22+22)，所以 =|sin=|12 21|，成立 故选：D 小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin 用cos，而余弦可由数量积进行计算 4、已知非零平面向量，下列结论中正确的是（）（1）若 =，则 =；（2）若|+|=|+|，则/（3）若|+|=|，则 （4）若(+)()=0，则 =或 =A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（2）（3）（4）答案：B 解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量，（1）若 =，则()=0，所以 =或()，即（1）错；（2）若|+|=|+|，则 与同向，所以/，即（2）正确；（3）若|+|=|，则|2+|2+2 =|2+|2 2 ，所以2 =0，则 ；即（3）正确；（4）若(+)()=0，则|2|2=0，所以|=|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.5、内角,的对边分别为,，已知2+2 2=，则=（）A6B56C3D23 答案：C 分析：利用余弦定理求出cos，再求出即可.2+2 2=,cos=2+222=2=12，0 ，=3.故选：C 6、向量=(,12)，=(4,5)，=(10,)若,三点共线，则的值为（）A2B1C2或 11D2 或11 答案：C 分析：求得，利用向量共线的充要条件，可得关于的方程，求解即可.解：由题可得：=(,12)(4,5)=(4,7)，=(,12)(10,)=(10,12 ).因为,三点共线，所以，所以(4)(12 )7(10)=0，整理得2 9 22=0，解得=2或=11.故选：C.7、已知向量|=2,|=4，且,不是方向相反的向量，则|的取值范围是（）A(2,6)B2,6)C(2,6D2,6 答案：B 分析：直接由|+|求解即可.由已知必有|0，=1+54，所以答案是：1+54 14、已知向量 =(4,3)，点(1,1)，(2,1)，记为在向量 上的投影向量，若=，则=_ 答案：25 分析：先求得在向量 上的投影，再根据为在向量 上的投影，求得的坐标，然后由=求解.因为点(1,1)，(2,1)，所以=(1,2)，又向量 =(4,3)，所以在向量 上的投影|=105=2，所以=2|=(85,65)因为=，所以=25，所以答案是：25 15、已知|=10,|=7,，则|的取值范围为_ 答案：3,17 分析：由题可得|=|，利用|+|即可求解.因为=，所以|=|，又|+|，即3|17，即3|17.所以答案是：3,17.16、已知非零向量，满足|=2|，且()(3 +2)，则 与的夹角为_ 答案：34#135 分析：由垂直转化得数量积为 0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.由()(3 +2)可得()(3 +2)=0，即3 2 22 =0，因为|=2|，不妨令|=1，则|=2，3 2 22 =0 3|2 2|2|cos,=0，代值化简得cos,=22，因为向量夹角范围为0,，故 与的夹角为34.所以答案是：34 17、已知向量 =(3,1),=(1,0),=+若 ，则=_ 答案：103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 =(3,1),=(1,0),=+=(3+,1),=3(3+)+1 1=0，解得=103,所以答案是：103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量 =(1,1),=(2,2)垂直的充分必要条件是其数量积12+12=0.解答题 18、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sin cos=222.（1）求A；（2）若=34，且边上的高为23，求 的面积.答案：（1）6；（2）73 分析：（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积（1）由sin cos=222得2sin 2cos=2 2，由余弦定理得2sin+2 2 2=2 2，所以2sin=，由正弦定理得2sinsin=sin，是三角形内角，sin 0，所以sin=12，又A为锐角，所以=6（2）由（1）2=2+2 2cos=3162+2 2 34 cos6=7162，=74，所以=12sin=12 23，即1234212=1274 23，=47，=34=21，=12sin=12 21 47 12=73 小提示：思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解这是一种解题技巧 19、北京 2022 年冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,=2，且=1,=3,cos=33.(1)求氢能源环保电动步道的长；(2)若=6，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.答案：(1)=23(2)42 分析：（1）由已知可得cos=cos2=2cos2 1=13，从而由余弦定理即可求出AC的长；（2）利用余弦定理求出=32，利用面积公式求出和，进而可得花卉种植区域总面积.(1)解：因为cos=33，=2，所以cos=cos2=2cos2 1=13，因为=1，=3，所以由余弦定理得2=2+2 2 cos=1+9 6 (13)=12，因为 0，所以=23；(2)解：因为=6，所以在ABC中，由余弦定理得cos=2+61226=33，解得=32或2（舍去），因为cos=33，所以sin=63，所以=12 sin=12 6 32 63=32，因为cos=13，所以sin=1 19=223，故=12 sin=12 1 3 223=2，所以花卉种植区域总面积为32+2=42.20、在锐角 中，角，的对边分别为，已知=23且cos+(cos 3sin)cos=0（1）求角A的大小；（2）若=22，求 的面积；（3）求2+的取值范围 答案：（1）3；（2）3+3；（3）(8,47 分析：（1）由条件利用两角和差的三角公式求出tan=3，即可求解；（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可（1）cos+(cos 3sin)cos=0，cos(+)+coscos 3sincos=0，coscos+sinsin+coscos 3sincos=0，sinsin 3sincos=0，sin 0，sin=3cos，又cos 0，tan=3，0 2，=3；（2）2=2+2 2cos，12=8+2 2 22 12，=2+6，=12sin=3+3；（3）由正弦定理可得：2=sin=23sin3=4，2+=8sin+4sin=8sin+4sin(23)=10sin+23cos=47sin(+)，其中tan=35，sin=2114，cos=5714，为锐角，因为 为锐角三角形，则6 2，从而+6 +2，得sin(6+)sin(+)1，sin(6+)=sin6cos+cos6sin=277，所以277 sin(+)1，8 47sin(+)47，所以8 2+47，从而2+的取值范围为(8,47