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2021年高考数学三轮冲刺训练 数列

2021年高考数学三轮冲刺训练 数列

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数 列
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．

等差数列
1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示
2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：
（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数
3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
4、等差数列通项公式与函数的关系：
，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可
（2）由通项公式可得：
作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。
（3）当时，
因为
而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
，即偶数项和与中间两项和的联系
6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析
等比数列
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
① 数列（为常数）为等比数列
② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③ 数列为等比数列
④ 数列为等比数列
6、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
数列的求和的方法
（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：
（3）错位相减法：
通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和
（4）裂项相消：
的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多
（5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，

1、 对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除。
2、 对于解答题若涉及到求和问题一定眼验证，确保答案的正确。

1、记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．
2、已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
3、已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．

4、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.

5、在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B．
6、设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
7、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
8、我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．
【答案】
【解析】因为，所以．
即．
故答案为：.
9、设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：.
10、将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
11、记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
12、记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，
所以．
13、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．
【答案】 0，.
【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
14、已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．
【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.

15、设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.
故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得

所以.
16、设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1） 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为，所以
（2）由（1）得，所以
. ①
从而
.②
得
，
所以
17、已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为．由题设得，．
解得（舍去），．由题设得．
所以的通项公式为．
（2）由题设及（1知，且当时，．
所以

．
18、已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．
（Ⅲ）解：当为奇数时，；当为偶数时，．
对任意的正整数，有，
和． ①
由①得． ②
由①②得，从而得．
因此，．
所以，数列的前项和为．
19、已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．
【解析】（Ⅰ）由得，解得．
由得．
由得．
（Ⅱ）由得，
所以，
由，得，因此

一、单选题
1、《莱茵德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设等比数列为，其公比为，
由题意知，，可得，
因为，所以，解得或（舍去），
当时，可得，解得.
故选：A.
2、已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】
∵a1=12，S5=90，
∴5×12+ d=90，
解得d=3．
故选C．
3、已知数列满足且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，
故选：B.
4、在公差不为0的等差数列中，，，，，成公比为4的等比数列，则（ ）
A．84 B．86 C．88 D．96
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，根据，，，，成公比为4的等比数列，由，得，再结合求解.
【详解】
设等差数列的公差为．
因为，，，，成公比为4的等比数列，
所以，所以，得．
所以，所以．
即，解得．
故选：B．
5、已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022 B．1023 C．2046 D．2047
【答案】D
【解析】
由求出的递推关系，再求出后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前项和公式求解．
【详解】
当时，，∴，
又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1，
所以，由得，即，
∴所求和为．
故选：D．
6、已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若存在，由，则可得或，
由可得，由可得
所以中恒有
由，可得
所以，即
所以

所以，即
所以，则，所以
故选：C
7、在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取，）
A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元
【答案】C
【解析】
设1月月底小王手中有现款为元，
月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，
则，即，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
，即，
年利润为元，
故选：C
8、设等比数列的前n项和为，首项，且，已知，若存在正整数，使得、、成等差数列，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
由，且，
整理得：，
所以，，
因为、、成等差数列，
所以，
所以，
因为正整数，
所以，
所以，
所以，
当时，不成立；
当或时，成立；
此时或，
当时，，，此时；
所以的最小值为8.
故选：C.
二、多选题
9、已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
等比数列的公比，
和异号， ，故A正确；
但不能确定和的大小关系；故B不正确；
和异号，且且，
和中至少有一个数是负数，
又 ， ，故D正确，
一定是负数，即 ，故C不正确；
故选：AD
10、已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
【答案】BC
【解析】
若，当时，，不满足，故A错误.
若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.
若是等差数列，则，故C正确.
，故D错误.
故选：BC
11、等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】
等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.
故选：BC.
12、设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是( )
A．S2019020 B．
C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】
当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；
故选：
13、已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，
又因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确.
当时，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正确D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14、设等比数列满足，，则______.
【答案】
【解析】
因为，，
所以，
又，
所以，
所以.
故答案为：
15、已知数列的前项和，则数列的前10项和为______．
【答案】
【解析】
因为，所以，
所以，
又满足上式，
所以，
所以，
所以数列的前10项和为，
故答案为：
16、若数列满足：，，则________________.
【答案】.
【解析】
.
两式相减，得.
.
故是首项为，公差为的等差数列的第项，
故.
故答案为：.
17、把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______.
【答案】1992
【解析】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第个括号内共4个数；
故前个括号内共有数字个数为；
又因为所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；
因此第个括号内的数字分别为，
所以.
故答案为：1992.
四、解答题
18、已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
【解析】
(1)设数列的公差为，
由题意知: ①
又因为成等比数列，
所以，
，
，
又因为，
所以. ②
由①②得，
所以，
， ，，
.
(2)因为，
所以

所以数列的前项和.
19、已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【解析】
（1）由题意可得，求出和，从而可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用错位相减法可求得数列的前项和
【详解】
解：设的公比为，．
（1）由整理得，解得或（舍去）．
∴，∴，．
（2），∴．
∴，，
∴
．
∴．
20、已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
21、已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，是数列前项的和，求证：.
【解析】
（1）因为，所以又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；；
（2）由（1）可得，则，
所以，
因此得证.
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
22、已知数列的前项和是.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数．
【解析】
（1）利用可得答案；
（2）求出利用裂项相消可得答案.
【详解】
（1），
当时，，
符合上式，
所以．
（2），
∴，
令，解得，
所以最小正整数为1011.
23、在①，②，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.
已知正项数列的前项和为， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
【解析】
（1）选①时，当时，，因为，所以，
由，①
可得，②
②－①得，，
整理得，
所以
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以；
选②时，
因为①
所以当时，②
①－②得：，即
①中，令，得，适合上式
所以当时，
又，
所以对任意，
（2）因为即
所以，
于是，
③
④
③－④得

所以