湖南省常德市第二中学2020届高三数学下学期临考冲刺试题-理.doc

湖南省常德市第二中学2020届高三数学下学期临考冲刺试题 理

湖南省常德市第二中学2020届高三数学下学期临考冲刺试题 理

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湖南省常德市第二中学2020届高三数学下学期临考冲刺试题 理（含解析）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合M={x|x2－x－2＞0}，集合N={x|2x-2>），则（ ）
A. {x|x＞2} B. {x|x＞1}
C. {x|x＞2或x＜－1} D. {x|x＞1或x＜－1}
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解出集合与集合，然后利用集合的基本运算，即可求解.
【详解】由题意知M=(－∞,－1)∪(2,＋∞)，由，得,所以N=(1,＋∞)，
∴M∩N=(2,＋∞)，
故答案选：A
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.
2. 设i为虚数单位，复数z则|z－i|=（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先对复数进行化简，求出的值，再利用复数的模长计算公式计算可得答案.
【详解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.
3. 记为等差数列的前n项和，已知，则（ ）
A. 15 B. 16 C. 19 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解、，即可求得.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为所以，解得，
则.
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题.
4. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，
故选B.
考点：函数的图象.
5. 在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BN＝BC，则·＝（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则，求得，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
详解】由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得，
，
所以
.
故选C．

【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据椭圆的定义求出，的值，再利用余弦定理计算可得.
【详解】解：，

，而，
故，
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题.
7. 已知函数f(x)=3cos2x+4sinx，x∈()，则f(x)的值域为（ ）
A. [4，) B. (4，) C. [4，] D. (4，]
【答案】C
【解析】
【分析】
把函数化为，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】依题意，函数f(x)=3(1－sin2x)+4sinx=－3sin2x+4sinx+3，
令t=sinx∈(，1]，由y=－3t2+4t+3的对称轴为t=，
则ymax=－3×+4×+3=，ymin=－3×1+4×1+3=4，
所以f(x)的值域为[4，].
故选C.
【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式，正弦函数的性质以及二次函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与计算能力.
8. 历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】初始：，，第一次循环：，，继续循环；
第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，
所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．
9. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.
【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.
故答案为C.
【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
10. 若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan＝（ ）
A. 405 B. 810 C. 243 D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】
根据(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导，再令x＝1得到2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan，然后根据(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，求得n即可.
【详解】因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1，
令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan，
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
令x＝1，可得3n＝243，
解得n＝5.
∴a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.
故选：B
【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及导数的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为（ ）

甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8

A. 15万元 B. 16万元 C. 17万元 D. 18万元
【答案D
【解析】
【分析】
设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，根据题意列出x，y满足不等式组和的表达式，画出可行解域，通过平移直线找到使得目标函数有最大值时所经过的点的坐标，最后代入求值即可.
【详解】设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z＝3x＋4y，且x，y满足不等式组
画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，
由得∴M(2，3)，
故z＝3x＋4y的最大值为18，所以该企业每天可获得的最大利润为18万元.
故选：D
【点睛】本题考查了数学阅读能力和数学建模能力考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
12. 已知函数y=f(x)对任意的满足 (其中为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，则该函数为增函数，再根据可得.
【详解】令，则，
因为，则，所以，
所以，即，即，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用函数的单调比较大小关系，其中熟记函数四则运算中商的导数公式，以及构造出相应的函数模型是解答的关键，属于中档试题.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13. 已知点A(1,0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，，则λ＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先根据条件得C坐标，再根据斜率公式求λ.
【详解】∵点A(1,0)，B(1，)，点C在第二象限，，
∴C(λ－4，λ)．
∵∠AOC＝150°，∴∠COx＝150°，
∴tan 150°＝，解得λ＝1.
故答案为：λ＝1.
【点睛】向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、解几的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、解几问题.
14. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】
由题意得，，则，化简后根据基本不等式即可求出答案．
【详解】解：依题意得，圆心坐标是，于是有，
∴，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查圆的方程的应用，属于基础题．
15. 已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行解域，根据目标函数的几何意义进行求解即可.
【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，

其中A(2，4)，k＝的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点连线的斜率.
直线的斜率率为：
由图可知，，或.
故答案为：
【点睛】本题考查了利用目标函数的几何意义求取值范围问题，考查了数形结合思想和数学运算能力.
16. 为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X为10个同学的得分总和，则X的数学期望为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
利用二项分布期望公式求出每位同学进球个数ξ的期望，再求10个同学的得分总和的数学期望.
【详解】每位同学的进球个数ξ～B(2，0.6)，得E(ξ)＝2×0.6＝1.2，
∴E(X)＝10×5E(ξ)＝50×1.2＝60.
故答案：60
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题.
三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 已知函数．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，已知f（A）＝﹣1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1）单调递减区间为和．（2）．
【解析】
【分析】
（1）先把函数f（x）化简成．再利用正弦函数的单调性求单调区间．
（2）把f（A）＝﹣1代入函数解析式求出A，再有余弦定理列出b，c的方程，利用均值不等式求出bc的最大值，进而求△ABC的面积的最大值．
【详解】解：（1）
∴，∴（k∈Z）
∴函数f（x）在[0，π]的单调递减区间为和．
（2）∵△ABC为锐角三角形，∴，
又，即．
∵a2＝b2+c2﹣2bcosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，又a＝2，∴bc≤4，
∴．当且仅当b＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值．
【点睛】本题考查求正弦型函数的单调性，考查余弦定理的应用，三角形面积公式，解题关键是化函数为标准型三角函数，即形式，然后结合正弦函数性质求解．
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.

（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）由AB//CD推出CD//平面PAB，利用线面平行的性质可推出CD//EF，又CD⊥AD则；（2）由面面垂直的性质证明PO⊥平面ABCD，即可根据四棱锥的体积及勾股定理求出PO，AD，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法利用的余弦值列出方程即可求得.
【详解】（1证明：由题意得，AB//CD，
又AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD//平面PAB.
又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，
∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4，
又PO2+=4，∴PO=，AD=2.
取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，
∴=(，2，－)， =(0，－2，0).

假设存在点G，设，
∴，则，
∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，
设平面GCD的法向量为，
，可取，
又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角，
∴，解得λ=或λ=3（舍）.
存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时.
【点睛】本题考查线面平行的性质、面面平行的性质、空间向量法求二面角的余弦值，属于较难题.
19. 李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.
（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

【答案】（1）（2）（3）选择路线上班最好.
【解析】
【试题分析】（1）走线路相当于次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生次和恰好发生次的概率，相加即可.（2）走线路，则遇到红灯次数的可能取值为，按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）线路是二项分布，利用公式计算出期望，由于的期望小，故选线路.
【试题解析】
（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 
则　　，　　　　　  
所以走路线，最多遇到1次红灯概率为.　　　  
（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　 　　 

. 
随机变量的分布列为：

0
1
2

所以.　　　　　　  
（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布～，所以.    因为，所以选择路线上班最好.
【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都为，所以可以看成是次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了.
20. 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为，三角形ABF2的周长为4.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.
【答案】（1）＋＝1；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义由三角形ABF2的周长求出a，代入离心率求出c，再求出b，即可求得椭圆的方程；（2）直线斜率不存在时由椭圆的对称性即可证明；直线斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，A，B 点的坐标代入方程，两式相减利用中点坐标公式变形可求出直线OM的斜率，同理可求出ON的斜率，两斜率相等即可得证.
【详解】（1），a＝，
又e＝，∴c＝，b＝，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
（2）当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k(k≠0)，
且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则，两式相减，得＝－，
又，所以·＝－，
则－－.
同理可得－，，∴O，M，N三点共线.
【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的综合应用、直线的方程，属于较难题.
21. 已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性；
(2)若且，证明：.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导可得，，当时，，可得单调性，又，即可求得的单调区间．
（2）要证即证成立，当时，可得，可求的表达式，令，根据的正负，可得的单调性，进而可得，计算化简，即可得证．
【详解】（1） ，，
当时， 在单调递减，
又，
令，得或.
在单调递增，在单调递减.
（2）要证即证成立
当时，.
.
令
，
当且仅当时取，
在单调递增
又
当时，，
即

而由知，由（1）知在单调递减.
即.
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到用导数来研究函数的单调性及证明不等式问题，利用构造函数进行证明不等式是解题的关键，考查学生分析计算，化简证明，逻辑推理的能力，属难题
22. 在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．
求l的直角坐标方程，点M的极坐标；
设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
分析】
直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解.
【详解】解：由得，，
的直角坐标方程．
令得点M的直角坐标为，
点M的极坐标为 ．
由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，
得，
．
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.
23. 设函数．
若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
若，求的最小值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
通过讨论b的范围，得到关于a，b的方程组，解出即可；根据基本不等式的性质求出的最小值即可．
【详解】解：由得，，
当时，不合题意；
当时，，
由已知得，，
综上，，
(2)
当，
即时，有最小值，最小值是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式及绝对值三角不等式的性质求最值，属于基础题．