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2021高考数学黄金预测卷（二）（含解析）

2021高考数学黄金预测卷（二）（含解析）

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2021届高考数学黄金预测卷（二）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是的共轭复数，则( )
A.-1 B. C. D.1
3.“"是“”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
4.雷锋精神是我国宝贵的精神财富.2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为该函数也可以简化为的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为经过一年，该果树的高为则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
6.已知单位向量a，b满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别在线段PC，PB，PD上，F，G分别是PB，PD的中点，，则( )

A.直线PA与直线EF平行 B.直线PA与直线GF相交
C.直线PA与直线EG相交 D.直线PA与平面EFG平行
8.已知抛物线，点在抛物线上，且直线过点为C的焦点，若，则抛物线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.某医疗器械公司统计了2020年11月份A品牌器械的日销售情况，并绘制成如下统计图，则下列说法正确的是( )

A.2020年11月17日该品牌器械的销售量最大
B.从销售数据看，前半月日销售量的极差小于后半月日销售量的极差
C.从销售数据看，前半月日销售量的方差大于后半月日销售量的方差
D.从销售数据看，前半月的销售业绩高于后半月的销售业绩
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的图象关于点中心对称
B.在区间上单调递减
C.在上有且仅有1个最小值
D.的值域为
11.已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.
B.数列是公比为8的等比数列
C.若，则数列的前2020项和为4040
D.若，则数列的前2020项和为
12.若定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，下列函数为“H函数”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中含项的系数为_____________.
14.已知圆的内接正三角形PQR的边PQ所在直线l经过点，且直线PQ与坐标轴不垂直，则直线l的方程为______________.
15.已知三棱锥中，，E为PC的中点，且的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
16.已知函数存在两个极值点，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

如图，在平面四边形ABCD中，，____________.
（1）求BD的长；
（2）求的最大值.
18.（12分）已知数列满足，且为等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，满足，求数列的前n项和.
19.（12分）某省高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个学科中自主选择3个科目参加等级性考试，称为“3+3”模式.为了解数学能力对选考物理的影响，某中学随机调查了该校的200名高三学生，调查结果如下表.
数学能力
优秀
良好
中等
合格
不合格
人数
52
48
50
30
20
选考物理人数
46
34
25
10
5
将数学能力在中等以下（不包括中等）的学生评价为数学能力较弱；否则，评价为数学能力不弱.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否有99.9%的把握认为是否选考物理与数学能力有关；

不选考物理
选考物理
合计
数学能力不弱

数学能力较弱

合计

（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从全省高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考物理的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.

0.050
0.010
0.005
0.001
K
3.841
6.635
7.879
10.8228
20.（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，与相交于点D.

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（12分）设椭圆的离心率为分别为椭圆E的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的任一点，的周长为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线交椭圆E于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC和直线BD交于点M，求证：点M到y轴的距离为定值6.
22.（12分）已知函数为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若求a的取值范围.

答案以及解析
一、单项选择题
1.答案：B
解析：依题意，，由得，因此.故选B.
2.答案：D
解析：由知，所以，所以，故选D.
3.答案：A
解析：因为，所以，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4.答案：B
解析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，共有种情况，甲被选中共有种情况，所以甲被选中的概率，故选B.
5.答案：A
解析：由题可得则解得所以由函数解析式可知，在上单调递增，且故该果树的高度超过至少需要4年.故选A.
6.答案：B
解析：由，得，两边平方，得，即，整理得，所以或.因为，所以，所以，所以，故选B.
7.答案：D
解析：如图，连接AC，BD交于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得O为AC，BD的中点，因为F，G分别是PB，PD的中点，所以，连接PO，交GF于点M，可得，取线段PC的中点Q，连接OQ，则，又，所以，连接ME，则，所以，因此直线PA不与直线EF平行，与直线GF异面，与直线EG异面，与平面EFG平行，故选D.

8.答案：C
解析：如图，过点分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可知，，则易知B为的中点连接，则为的中位线，点B在线段的垂直平分线上，点B的横坐标为，抛物线C的标准方程为.
二、多项选择题
9.答案：AB
解析：根据折线图容易看出2020年11月17日该品牌器械的销售量最大，A正确；从折线图可以看出，前半月日销售量的极差，后半月日销售量的极差，所以前半月日销售量的极差小于后半月日销售量的极差，B正确；从销售数据看，前半月数据波动较小，后半月数据波动较大，因此前半月日销售量的方差小于后半月日销售量的方差，C错误；从销售数据看，前半月数据之和小于后半月数据之和，因此后半月的销售业绩高于前半月的销售业绩，D错误.
10.答案：BC
解析：因为，所以，所以的图象不关于点中心对称，故A错误.
因为，所以为函数的周期.考虑，当时，，因为，所以在区间上单调递增，，；当时，，因为，所以在区间上单调递减，，.所以的最小正周期为，值域为，故BC正确，D错误.
11.答案：CD
解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和的公式、数列求和的方法.由等差数列的性质可知，，故A错误；
设的公差为d，则有解得，故，则数列是公比为的等比数列，故B错误；
若，则的前2020项，故C正确；
若，
则的前2020项和，故D正确.故选CD.
12.答案：CD
解析：对任意两个不相等的实数，
都有，
可得，
即.
若，则，可得，即，所以若函数为“H函数”，则函数为R上的奇函数，且为增函数.
对于A选项，函数的定义域为，且为偶函数，不符合题意；
对于B选项，函数为R上的非奇非偶函数，不符合题意；
对于C选项，函数的定义域为R，且该函数为R上的增函数，又，所以函数为奇函数，符合题意；
对于D选项，函数的定义域为R，且，故函数为奇函数，且在区间和上均为增函数.又函数在R上连续，所以函数为R上的增函数，符合题意.故选CD.
三、填空题
13.答案：45
解析：由二项式定理可得的通项为，所以的展开式中含项的系数为，含项的系数为，故的展开式中含项的系数为.
14.答案：
解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为.圆化为标准方程得，圆心为，半径.由于是正三角形，则圆心C为的中心，则圆心C到直线l的距离为，所以，解得，所以直线l的方程为，即.
15.答案：
解析：如图，取AB的中点F，连接EF，PF，

因为，所以，所以在中，.易知，则，所以.因为的面积为，所以，解得.连接FC，易知，所以，即为直角三角形，则，所以，则，所以，所以，所以E为三棱锥的外接球球心，其半径，所以外接球的表面积.
16.答案：
解析：由题意得因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点.由得，即令则易知函数是减函数，且当时，，所以当时，单调递增；当时，单调递减.故又当时当时所以要使有两个零点，需，即.
四、解答题
17.答案：（1）方案一：选条件①.
因为在平面四边形ABCD中，，所以.
由，得，
故.
根据正弦定理得，所以.
方案二：选条件②.
因为在平面四边形ABCD中，，所以.
设，则，
由余弦定理得，
即，得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
因为在平面四边形ABCD中，，所以.
由题意得，
解得.
由余弦定理可得，
所以.
（2）解法一：设，则，
由正弦定理得，
所以，
所以
，其中.
所以当时，取到最大值，且最大值为.
解法二：在中，设，
由余弦定理得，
即，则.
由基本不等式可知，
因此，则，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最大值为.
18.答案：(1)由题可得，
结合，可得
因为数列为等比数列，所以数列的公比，
所以.
(2)由（1）可得，
所以，
所以

.
19.答案：（1）根据题意填写的2×2列联表如下：

不选考物理
选考物理
合计
数学能力不弱
45
105
150
数学能力较弱
35
15
50
合计
80
120
200
，
所以有99%的把握认为是否选考物理与数学能力有关.
（2）由题意知，这200名学生中选考物理的人所占的频率为，所以估计从全省高三学生中随机抽取1人，此人选考物理的概率为.
X的所有可能取值为0，1，2，3
且，
，
，
，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P

数学期望.
20.答案：(1)∵四边形是菱形，∴D是的中点.
，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面
又平面
(2)由棱柱的定义知，在三棱柱中，平面平面，
∴平面与平面所成的锐二面角与锐二面角相等.
平面，
∴以D为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得，
.
设平面的法向量.
，
由得令，可得，
∵平面平面，平面平面平面，
∴平面的一个法向量是，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
21.答案：（1）设椭圆E的焦距为2c，
则根据题意知，解得，故，
因此椭圆E的方程为.
（2）设，由（1）可知，
则直线AC的方程为，
直线BD的方程为，
所以直线AC与BD的交点M的横坐标为，
将代入上式化简得，
.
将代入椭圆方程整理得，
，
所以，
所以.
因此，点M的横坐标为6，即点M到y轴的距离为定值6.
22.答案：(1)当时，
令则，
所以在上单调递增，
又所以当时在上单调递减；
当时在上单调递增.
所以所以的零点为
(2)，
当时，令，
则，
所以在上单调递增，
所以即所以不符合题意.
当时，令，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以存在使得
即即，
所以当时，在上单调递减；
当时在上单调递增，
所以当且仅当即时取等号，所以符合题意.
综上，a的取值范围为.