2023欧洲女子数学奥林匹克.pdf

中等数学522023欧洲女子数学奥林匹克中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 6-0 0 52-0 3引用格式：2 0 2 3 欧洲女子数学奥林匹克J.中等数学，2 0 2 3（6）：52-54.1.给定整数n3和n个正实数aj,a24.对每个=1,n,6=-+（这里约定a=an,aI=).假设对所有ivjE(1,2,n，都有a,a,当且仅当b,b,.证明：aj=a2=.=an.2.设D是锐角ABC外接圆上一点，使得AD为直径.设点K、L分别在线段AB、A C上，满足DK、D L都与AKL的外接圆相切.证明：ABC的垂心在直线KL上.3.给定正整数k.一个间谍的密码本D上写有若干只由字母A和B组成的长度为k个字母的字符串.间谍希望在kxk的方格表中每个格内填上字母A或B,使得每一列从上到下读恰好是D中的某个字符串，且每一行从左到右读也是D中的某个字符串。求最小的正整数m满足：只要D中含有至少个不同的字符串，不论含有的是哪些字符串，间谍一定可以按上述要求填好方格表.4.极速蜗牛开始时站在周长为1的圆周上某一点.对指定的无穷正实数序列c,C2，c,蜗牛依次绕着圆周爬行距离cpc2C，每一次爬行的方向要么是顺时针要么是逆时针.例如,如果指定的序列c,C2，C，是0.4,0.6,0.3，.，那么蜗牛可以按图1方式爬行.0.40.60.3图1求满足下述条件的最大的正实数C：对任一正实数序列ci,C2,C,若对所有i都有cC,则蜗牛（在研究过整个序列之后）可以保证存在圆周上的某一点，它永远也不会到达或者经过该点.5.给定整数s2.对任一正整数k，定义它的转换k如下：将k表示为as+b,这里a、b是非负整数且bs,则k=bs+a.对正整数n,考虑无穷序列d,d2,满足d,=n且对所有正整数idi+是d,的转换.证明：此序列中包含1当且仅当n除以s-1的余数是1或s.6.记ABC的外接圆为.设S.、S 分别是弧AC、A B（不含三角形第三个顶点的一侧）的中点.设N是弧BAC（含点A一侧的弧BC）的中点.记I是ABC的内心.设。是与AB相切且在点S,处内切于圆的圆，。是与AC相切且在点S.处内切于圆的圆.证明：直线IN和通过圆，与圆。交点的直线交于圆厂上某点.参考答案1.证法1不妨设a,是a,a,中最大的（某一个）,是其中最小的（某一个）.则b,=-+aml2-+*l=b.aa,S则由b,b,=a,a,.但,是最小的，,是最大的,矛盾.因此,所有a,均相等.证法2 假设所有的a不全相等.取一个a,最大，且满足和as+不都最大.532023年第6 期则6.=2+as-12.aS由于,最大,则b,也最大,故所有b,2(1in).另一方面，a,+a2.f+a3an-1+ibrb,.b,=-2a2a,a2,2/aja32/am-1a=2,a1a2a这与所有b不满足题意21+11+8记=C-！0.取序列222221,故d.a/s2-1.若ds?-1,则as-中等数学5411+8即C2i-1(iEN).注意到如果蜗2i22牛连续两次沿同一方向爬行，那么它已经经过圆周上所有点（因为c，中相邻两项之和大于1）.假设这种情况不会发生，则蜗牛必然每次移动都变换方向.但每两次操作之后会让蜗牛沿某个固定的方向移动.经过足够多2次移动之后，蜗牛走遍圆周上每个点.故不满足题意.25.首先注意到对任意i，若记d,=as+b，则 di+-sd,=(bs+a)-s(as+b)=a(1-s)是 s2 1的倍数,即 di+=sd,(mod s?-1).从而,若某个d,模s-1余1或s,则s-d,模，-1余1或s.由此知d模?-1余1或s.反之，若d模s-1余1或s,则每个d,都模s-1余s-或s,即模2-1余1或s.另-一方面,若某个d,s,将它写为as+b时,asb.则 d;+d,=(bs+a)-(as+b)=(b-a)(s-1)0.综上，数列d,d2会开始严格变小直到不大于，-1，之后一直保持不大于，2-1.结合d,模?-1余1或知在i足够大时d,在1和s之间交替.6.首先说明点A在，和的根轴上（这一步不需要点N。）.如图3，设过点S、S.的切线交于点T（T 是、。、的根心）.设AB、A C分别与S,S.交于点P、P.则TS.S,是等腰三角形.T11ASSPPCCCBC图3由 AB/TSc,AC/TS,=LAP,P,=ZTS,S,=ZS,S,T=ZP,P,A.由此知厂过点P,过点P且AP、A P恰好分别是、的切线.特别地，点A在，和。的根轴上，故过，和交点的直线是直线AT.接下来说明直线TA和直线IN.交于圆厂上一点.设直线TA交厂于点X，直线XI交厂于点N.需要证明点N与N。重合.如图4,设S.是弧BC（不含点A的一侧）的中点.T11NV11S1611S/11/11BC-XS图4注意到A、I、S a,B、I、S C、I、S.分别三点共线（因为它们在相应的角平分线上）；AS.XS,是调和四边形（因为在点S、S.处的切是集，都存在4个元素两两互素.则k的最小值8.对于集合1,2,，10 0 的任意k元子课外训练552023年第6 期数学典林四尧高中训练题(2 8 8)中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 6-0 0 55-0 6中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416（2 0 2 3)0 6-0 0 55-0 6引用格式：缠祥瑞.数学奥林匹克高中训练题（2 8 8)J.中等数学，2 0 2 3（6）：55-6 0.第一试一、填空题（每小题8 分，共6 4分）1.实数、b、c、d 满足任意两数之和不为0,且a6Cdb+c+da+c+da+b+da+b+c则a+66+cc+dd+a十c+dd+aa+b6+c2.锐角ABC的外心为0,A=45,且cos BAB+cos CAC=kOA.sin Csin B则=3.已知直线1经过抛物线：y=4x的焦点，且斜率k2，1与抛物线交于A、B两点，AB的中点M到直线lm：3 x+4y+m=0(m-3)的距离为二.则m的取值范围是54.方程1-x2=4x3-3x的所有实根之积是线和直线AX三线共点于T）.通过关于点I的“反转”，此调和四边形变成调和四边形SCNB（这是容易证明的）.由调和四边形的性质得ASXS,S.BNCCS.CNBAS,XSca5.已知四面体各面都是棱长分别为2、V3、2 的三角形.则此四面体的体积是6.盒子里有红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球有12 个，黄球有18 个，蓝球有3 0个.每次从盒子中取出一个球，直至取完.则红球最先被取完的概率是7.实数abc满足abc=1且ab+bc+ca=a+b+c0.则的最小值是maxia,b,cl二、解答题（共56 分）9.（16 分）已知数列1a，满足：22am(n=1,2,.).a3n+11+ann证明：aja2ae10.(20分)实数a、b c 满足+b+c=2 023.求M=min(a-b)2,(b-c)2,(c-a)2 的AIIXIBIC1ICIBIA IX=AS.XS,=AS,.XSS,C.NB=S,B.NC.又S.B=S.C,则NB=NC.从而，点N与N重合.（肖梁提供）