导数结合洛必达法则巧解高考压轴题.doc

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
第一部分：历届导数高考压轴题
(全国2理)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

（全国1理）已知函数.
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.

（全国1理）设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

（全国2理）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．

（辽宁理）设函数.
⑴求的单调区间和极值;
⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.

（新课标理）设函数=.
（Ⅰ）若，求的单调区间;
（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围.

（新课标文）已知函数.
（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.

（全国大纲理）设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.

（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.

例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围

第二部分：泰勒展开式
1.其中；
2. 其中；
3.，其中；
4. ，其中；

第三部分：洛必达法则及其解法
洛必达法则：设函数、满足：
（1）；
（2）在内，和都存在，且；
（3） （可为实数，也可以是）.
则.

1.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.
常规解法
（Ⅰ）略解得，.
（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
由（Ⅰ）知，所以.
考虑函数，则.
(i)当时，由知，当时，.因为，
所以当时，，可得当时，，可得
，从而当且时，，即；
（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.
（iii）当时， ，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.
注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.

洛必达法则解法
当，且时，，即，
也即，记，，且
则，
记，则，
从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
由洛必达法则有
，
即当时，，即当，且时，.
因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.
注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.
2.（新课标理）设函数.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
应用洛必达法则和导数
（Ⅱ）当时，，即.
①当时，；②当时，等价于.
记 ，则.
记 ，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.
由洛必达法则有，

即当时，，所以当时，所以，因此.
综上所述，当且时，成立.
例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
应用洛必达法则和导数
当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，
，所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，
且，故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有
，
即当时，，即有.
故时，不等式对于恒成立.
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：
① 可以分离变量；
②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；
③出现“”型式子.

（海南宁夏文）
已知函数.
（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.
由洛必达法则有
，
即当时，
所以，即有.
综上所述，当，时，成立.

（全国大纲理）设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有
，即当时，
，即有，所以.综上所述，的取值范围是.

（全国2理）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数．

解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数

若，则；
若，则等价于，即
则.
记，

因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，因此.

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