空间向量与立体几何高考冲刺总复习(文科).doc

空间向量与立体几何高考冲刺总复习（文科）
【考点梳理】
考点一、空间几何体的表面积和体积
1、旋转体的表面积
名称
图形
表面积
圆柱

S=2πr(r+)
圆锥

S=πr(r+)
圆台

球

2、几何体的体积公式
（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;
（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=（++S）h;
（4）设球半径为R，则球的体积V=π。
要点诠释：
1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。
2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．
考点二：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；
一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．平行于记作，此时．=0或=p．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．

（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作．
考点三：空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ 的中点坐标为．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点的坐标的确定：
过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
考点四：用向量方法讨论垂直与平行

图示
向量证明方法
线线平行
（//）

//
（分别为直线的方向向量）
线线垂直
（）

（分别为直线的方向向量）
线面平行
（//）

，即
（是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直
（）

//
（是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行
（//）

（分别是平面，的法向量）
面面垂直
（）

，即
（，分别是平面，的法向量）
要点诠释：
（１）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．

考点五：用向量方法求角

图示
向量证明方法
异面直线所成的角

（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角

（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角

（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
要点诠释：
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
考点六：用向量方法求距离

图示
向量证明方法
点到平面的距离

（为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离

（是平面的公共法向量）
两平行平面间的距离

（是平面，的一个公共法向量）
要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．
（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
【典型例题】
类型一、空间几何体的三视图
例1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 。

【答案】
【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱。其表面积为
【变式1】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（　）

　　A． 　　　B．　　　 C．　　　 D．
【答案】B
【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，

　　底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，△PCD的高为20，故这个几何体的体积为。
【变式2】（2016-广西高考-10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90
（D）81

【变式3】（2017广西高考-9）. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )
A. B. C. D.
【变式4】（2017广西高考—10）.在正方体中，为棱的中点，则（　　）
A. B. C. D.
例2 (2015—河南高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若几何体的表面积为则r=( )
A.1 B.2 C.4 D.8

【思路点拨】三视图直观图（圆柱与球的组合体）圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解。
【答案】B
【解析】有几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体时一个半球拼接半个圆柱

其表面积为：
解得r=2,故选B.
举一反三：
【变式1】(2015 福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )

A. B. C. D.
【答案】B
解析】根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面是梯形上底1，下底2，高为1
所以侧面为 底面为
故几何体的表面积为.故选B.
【变式2】（2014广西高考-10）.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．

【变式3】（2016-广西高考-11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）（B）（C）（D）

类型二：空间向量的直角坐标运算
例3. 设＝(1，5，-1)，＝(-2，3，5)．
(1)当()∥()时，求的值；
(2)当(-3)⊥(+)时，求的值．
【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算．
【解析】(1)∵ (1，5，-1)，(-2，3，5)，
∴ (1，5，-1)-3(-2，3，5)＝(1，5，-1)-(-6，9，15)＝(7，-4，-16)．
(1，5，-1)+(-2，3，5)＝(，，)+(-2，3，5)＝(，，)．
∵ ∥()，
∴ ，解得．
(2)由()⊥()(7，-4，-16)·(，，)＝0
，
解得．
举一反三：
【变式1】（2015秋 齐齐哈尔校级期中）已知，则向量与夹角的余弦值为________.
【答案】
【变式2】空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则等于( )
A． B． C． D．0
【答案】D
设，，，则，
所以．
所以OA⊥BC．所以．
【变式3】与向量平行的单位向量的坐标为（ ）
　A. (1,1,0) B. (0,1,0) C. (1,1,1) D. 或．
【答案】D
类型三、平行与垂直关系
例4（2015 江苏高考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1．

【思路点拨】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；
（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．
【证明】（1）根据题意，得；
E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C；
（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CC1；
又因为AC⊥BC，
CC1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，
BC∩CC1=C，
所以AC⊥平面BCC1B1；
又因为BC1⊂平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC；
因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥平面B1AC；
又因为AB1⊂平面B1AC，
所以BC1⊥AB1．
【总结升华】在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．
举一反三：
【变式1】（2015 重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

【证明】（I）由已知得，MD是△ABP的中位线
∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC
∴MD∥面APC；

（II）∵△PMB为正三角形D为PB的中点
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，
∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC；

（III）由题意可知，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
MD⊥面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2，
∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S△BCD=×=2，
∴．
类型四：空间距离,利用空间向量解决立体几何中的探索问题
例4 已知正三棱柱—,，,是侧棱的中点。

（1） 求二面角的正切值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】如图，建立空间直角坐标系．

则．
（1）设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的正切值为3．
（2）由（1）知：
点到平面的距离＝．
【总结升华】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：(1)求出该平面的一个法向量n；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公式d＝求距离．
举一反三：
【变式】设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离。
【解析】∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则，，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
===，
∴点D到平面ABC的距离为。
【例6】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积；
【证明】（1）因为侧面，平面，
所以．
又因为△是等边三角形，是线段的中点，
所以．
因为，所以平面．
而平面，所以．
（2）由（1）知平面所以是四棱锥的高．
由，，可得．
因为△是等边三角形，可求得．
所以．
【变式1】（2016广西高考-19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.

【变式2】（2017广西高考—19）,如图，四面体中，是正三角形，
（1）证明：
（2）已知是直角三角形，,若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比

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