高考一轮复习学案：机械能守恒定律的应用.doc

第6课时　机械能守恒定律的应用

基础知识归纳
1.应用机械能守恒定律解决力学问题
先分析研究对象在运动过程中的受力情况，并确定各力的　做功　情况，在动能和重力势能的相互转化中，如果只有　重力(或弹力)做功　，就可以用机械能守恒定律求解.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
2.应用机械能守恒定律解题
可以只考虑物体运动的　初状态和末状态　，不必考虑运动过程.
3.机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者既有区别也有相同之处.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
(1)相同点：都是从　功和能量　的角度来研究物体动力学问题.
(2)不同点：
①解题范围不同，　动能定理　的范围相对来说要大些.
②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究　单个物体　在运动过程中合外力做功与动能的变化关系，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出　系统　初、末状态的机械能即可.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
重点难点突破
一、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用
对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，但是反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍.故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
对系统应用机械能守恒定律时，一般用多物体中增加的能量之和等于减少的能量之和来求解，即E增＝E减.
二、如何判断系统机械能是否守恒
1.利用机械能的定义.如物体在水平面内做匀速运动.动能与势能均不变，机械能守恒.若物体在倾斜或竖直方向做匀速运动，势能会改变，机械能不守恒.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
2.用做功来判断：分析物体或物体系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功，则机械能守恒；除重力(或弹力)做功外，还有其他的力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒，反之则不守恒.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
3.用能量转化来判断：对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能产生)，则系统机械能守恒.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
4.对一些绳子突然绷紧，物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目特别说明或暗示，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
典例精析
1.机械能守恒定律与圆周运动的综合
【例1】如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的光滑圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高通过轨道最低点时球对轨道压力多大？鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
【解析】小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒.取轨道最低点为零重力势能面.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可知mg＝m，解得mv＝gR預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
在圆轨道最高点小球机械能EC＝mgR＋2mgR
在释放点，小球机械能为EA＝mgh
根据机械能守恒定律可知EC＝EA
列等式：mgh＝mgR＋mg2R，解得h＝R
同理，小球在最低点机械能EB＝mv，EB＝EA，vB＝

小球在B点受到轨道支持力F和重力，根据牛顿第二定律，以向上为正方向，则F－mg＝m，F＝6mg
据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg，方向竖直向下.
【思维提升】机械能守恒定律与圆周运动综合的问题的求解关键：(1)状态分析，找到圆周运动的临界状态及有关向心力问题；渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
(2)过程分析，利用机械能守恒定律求解几个状态之间的关系.
【拓展1】半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示.小车以速度v向右匀速运动.当小车遇到障碍物突然停止，小球在圆桶中上升的高度可能为( ACD )铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
A.等于 B.大于
C.小于 D.等于2R
2.系统机械能是否守恒的判断
【例2】如图物块、斜面和水平面都是光滑的，物块从静止开始沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
【解析】以物块和斜面组成的系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦阻力，故系统机械能守恒.又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

【思维提升】系统机械能守恒的判断多从能量守恒角度分析，看运动过程中到底有哪些能量参与转化.
【拓展2质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕点O在竖直面内无摩擦转动，两球到点O的距离L1>L2，如图所示.将杆拉至水平时由静止释放，则在a下降过程中( C )坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
A.杆对a不做功 B.杆对b不做功
C.杆对a做负功 D.杆对b做负功
3.系统机械能守恒的应用
【例3】如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求： 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
(1)当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
(2)B球能上升的最大高度h；
(3)开始转动后B球可能达到的最大速度vm.
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为研究对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
(1)A到达最低点的过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍，如图所示.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
由系统机械能守恒有
2mg·2L＝3mg·L＋·2m·v2＋·3m()2驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
解得v＝
(2)B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置OA相对竖直位置向左偏了α角，如图所示.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
由系统机械能守恒有
2mg·2Lcos α＝3mg·L(1＋sin α)，此式可化简为4cos α－3sin α＝3，利用三角公式可解得锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
sin(53°－α)＝sin 37°，α＝16°
B球上升的最大高度h＝L＋Lsin 16°
(3)B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能的增大量等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，如图所示.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
·2m·(2v)2＋·3m·v2＝2mg·2Lsin θ－3mg·L(1－cos θ)輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
＝mgL(4sin θ＋3cos θ－3)≤2mg·L
解得vm＝
【思维提升】解系统机械能守恒问题往往要抓住两个关系：一是多物体的速度关系；二是多物体运动的距离(高度)的关系.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
【拓展3】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一条细绳将物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑x距离后，细绳突然断了，求物块B上升的最大高度H.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
【解析】设A沿斜面下滑x距离时的速度为v，B的速度也是v此时A的机械能减少了
ΔEA＝mAgx·sin θ－mAv2＝4×mgx－×4mv2＝2mgx－2mv2凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
B的机械能增加了ΔEB＝mgx＋mv2
由ΔEA＝ΔEB得2mgx－2mv2＝mgx＋mv2
细绳突然断的瞬间，B竖直上升的速度为v，此后B做竖直上抛运动，设继续上升的距离为h，对B应用机械能守恒定律得mBv2＝mgh恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
B上升的最大高H＝h＋x，解得H＝1.2x
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4.动量与机械能的综合
【例4】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示.物块从钢板正对距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动.已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
【错解】物块m从A处自由落下，则机械能守恒
设钢板初位置重力势能为零，则
mg·3x0＝mv ①硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
之后物块与钢板一起以v0向下运动，然后返回O点，此时速度为零，运动过程中因为只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒，有Ep＋(2m)v＝2mgx0 ②阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
2m的物块仍从A处落下到钢板初位置时应有相同的速度v0，与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒.返回到O点速度不为零，设为v，则：氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
Ep′＋(3m)v＝3mgx0＋(3m)v2 ③釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
因为m物块与2m物块在与钢板接触时，弹性势能之比Ep∶Ep′＝1∶1 ④
2m物块与钢板一起过O点时，弹簧弹力为零，两者有相同的加速度g.之后，钢板由于被弹簧牵制，则加速度大于g，两者分离，2m物块从此位置以v为初速度竖直上抛上升距离为怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
h＝ ⑤
由①～④式解得v代入⑤式解得h＝x0
【错因】这是一道综合性很强的题.错解中由于没有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程，而导致错误.另外在分析物块与钢板接触位置处弹簧的弹性势能时，也有相当多的人出错，两个错误都出时，会发现无解.这样有些人就返回用两次势能相等的结果，但并未清楚相等的含义.谚辞調担鈧谄动禪泻類。
【正解】物块从3x0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒，则有
mg·3x0＝mv ①
v0为物块与钢板碰撞时的速度.因为碰撞时间极短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒.设v1为两者碰撞后的共同速度mv0＝2mv1 ②嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
两者以v1向下运动恰返回到O点，说明此位置速度为零.运动过程中机械能守恒.设接触位置弹性势能为Ep，则熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。
Ep＋(2m)v＝2mgx0 ③
同理，2m物块与m物块有相同的物理过程.
碰撞中动量守恒，则2mv0＝3mv2 ④
所不同的是2m与钢板碰撞返回O点速度不为零，设为v，则
Ep′＋(3m)v＝3mgx0＋(3m)v2 ⑤鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化，则
Ep＝Ep′ ⑥
由于2m物块与钢板过O点时弹力为零.两者加速度同为g，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g，所以与物块分离，物块以v竖直上抛.上升距离为纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。
h＝ ⑦
由①～⑥式解得v并代入⑦式解得h＝x0
【思维提升】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化等多个知识点.是一个多运动过程的问题.关键问题是分清楚每一个过程，建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律.弹簧类问题，画好位置草图至关重要.颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。