(试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识点归纳总结.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点归纳总结（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点归纳总结(精华版精华版)单选题 1、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022 年卡塔尔世界杯是第 22 届世界杯足球赛比赛于 2022 年 11 月 21 日至 12 月 18 日在卡塔尔境内 7 座城市中的 12 座球场举行已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足=2dm，二面角 的大小为23，则该足球的体积为（）A74227dm3B35227dm3C1427dm3D32227dm3 答案：A 分析：画出图形，为线段的中点，则可得为二面角 的平面角，取,分别是线段,上靠近点的三等分点，则可得,分别为 和 的外心，过,分别作平面和平面的垂线,，交于点，则点为三棱锥 外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，然后结已知数据求出，从而可求出足球的体积 根据题意，三棱锥 如图所示，图中点为线段的中点，,分别是线段,上靠近点的三等分点，因为=2dm，所以 和 均为等边三角形，因为点为线段的中点，所以 ,，所以为二面角 的平面角，所以=23，因为 和 均为等边三角形，点为线段的中点，所以,分别为 和 的中线，因为,分别是线段,上靠近点的三等分点，所以,分别为 和 的外心，过,分别作平面和平面的垂线,，交于点，则点为三棱锥 外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，因为 ,，=2dm，所以=62dm，则=66dm，因为=,=,=90，所以 ，所以=12=3，在直角 中，=tan3=22，因为 平面，平面，所以 ，因为是 的外心，所以=63，所以=2+2=76,所以=43 3=43(76)3=74227，所以足球的体积为74227dm，故选：A 小提示：关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算能力，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象能力，属于较难题 2、已知直线a，b，平面，=，/，那么“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 分析：过直线作平面，交平面于直线，/，/，由 可推出 ，由 可推出 ，故“”是“”的充要条件 解：若 ，过直线作平面，交平面于直线，/，/，又 ，又 ，若 ，过直线作平面，交平面于直线，/，/，又 ，=，故“”是“”的充要条件，故选：3、已知在棱长均为2的正三棱柱 111中，点为11的中点，若在棱上存在一点，使得1/平面，则1的长度为（）A2B5C6D3 答案：B 解析：设点为的中点，取11的中点，连接，然后证明1/平面即可.如图，设点为的中点，取11的中点，连接，则1/，又1 平面，平面，1/平面，易知/，故平面与平面是同一个平面，1/平面，此时1=5，故选：B 4、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A18B20C223D26 答案：A 分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可 解：由题意得，球的半径=2，圆柱的底面半径=1，高=3，则该几何体的表面积为=22+2+2=8+4+2 1 3=18 故选：A.5、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.6、已知直线 平面，有以下几个判断：若 ，则/；若 ，则/；若/，则 ；若/，则 ；上述判断中正确的是（）ABCD 答案：B 分析：根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即得.对于，当 平面也可以有 ，但m不平行于平面，故错；对于，根据线面垂直的性质定理可知正确；对于，根据线面平行的性质定理可得存在 且而直线 平面，故可根据线面垂直的性质得出 ，故 正确；对于，根据直线 平面，可在平面内找到两条相交直线p，n，且 ，又，所以 ，故根据线面垂直的判定定理可知，正确 即正确 故选：B 7、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面BCD，BCCD，且=4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）A32B34C33D24 答案：C 分析：画出图形，取的中点，连接，可得/，则所求为，易证 是直角三角形，则可得，进而求解.如图，取的中点，连接，由题，=4，M为AD的中点，所以/，=2，则为所求，由 平面BCD，则 ，又 ，=，所以 平面，则 平面，所以 是直角三角形，即=90，又=12=122+2=23，所以cos=223=33，故选：C 8、已知正方体 1111的棱长为 2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面11且面积为3时，线段的长为（）A2B1C3D32 答案：A 分析：过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，即可得到 为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；解：如图，过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，因为/11，所以/11，11面11，面11，所以/面11 因为1/1，所以/1，1 面11，面11，所以/面11 又 =，,面，所以面/面11，则为截面，易知 是等边三角形，则12232=3，解得=2，=22=2.故选：A.9、球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正 的项点都在半径为2的球面上，球心到 所在平面距离为263，则、两点间的球面距离为（）AB2C23D34 答案：C 分析：设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为=22(263)2=233，由正弦定理可得433=sin，=433sin3=2，又 =2，所以，为等边三角形，则=3，因此，、两点间的球面距离为2 3=23.故选：C.小提示：思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式=2 2（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.10、下列说法中正确的是（）A如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B平面内 的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 C/，/，则/D/，/，则/答案：D 分析：根据线面关系，逐一判断每个选项即可.解：对于 A 选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；对于 B 选项，如图1，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，到平面的距离相等，但 所在平面与相交，故错误；对于选项 C，可能在平面内，故错误；对于选项 D，正确.故选：D.填空题 11、对于任意给定的两条异面直线，存在_条直线与这两条直线都垂直 答案：无数 分析：平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.令给定的两条异面直线分别为直线,，平移直线到直线，使与直线相交，如图，则直线与确定平面，点A是平面内任意一点，过点A有唯一直线 ，因此，,，即有 ，由于点A的任意性，所以有无数条直线与异面直线,都垂直.所以答案是：无数 12、如图，是平面四边形的直观图，若是边长为 2 的正方形，则四边形的周长为_.答案：16 分析：根据原图形与斜二测画法直观图之间的关系，还原原图形即可求解.=2，=22 还原回原图形后，=2，=2=42，=2+2=32+4=6,原图形的面积周长为2 (6+2)=16 所以答案是：16.13、中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方 1100 多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为_.答案：833 分析：根据圆锥侧面积展开图是半径为 4 的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积.设圆锥的底面半径为，则2=12 2 4，解得=2，圆锥的高为=42 22=23，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为=13 22 23=833.所以答案是：833.14、如图，在正方体 1111中，是侧面11的中心，则异面直线1与的夹角大小为_ 答案：30#6 分析：平移直线，找出异面直线所成角，利用三角形的知识求解.如图，连接11，则11/，则11即为所求异面直线夹角（或其补角），连接1，1，1，则1=11=1，所以 11是等边三角形，则11=60 O是1中点，则由等边三角形的性质可知1平分11，即11=30 所以答案是：30 15、设，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则/；若 ，/，则/其中真命题的序号为_ 答案：分析：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.解：由线面垂直的判定定理可得，若要使 ，则要垂直中的两条相交的直线，通过分析，只垂直来中的一条直线，故不能做出判断，故错误；根据面面垂直的判定定理可得，若 ，则 ，故正确；由线面垂直的性质定理可得，两条不同的直线都垂直同一个平面，则这两条直线必平行，故正确；由面面平行的性质定理可得，只有若 ，/，不能得出/，如果加上条件,在同一平面内，则可得线线平行，故错误，所以答案是：解答题 16、如图所示，在正方体 1111中，E，F，G，H分别是，1，11，1的中点求证：（1）/1；（2）/平面11：（3）平面/平面11 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）取1中点，连接,，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形1为平行四边形可得；（2）连接，交于，连接，1，通过证明四边形1为平行四边形得出/1可证；（3）通过/1得/平面11，通过/11得/平面11可证明.（1）取1中点，连接,，是1中点，/且=，/,=，/,=，则四边形为平行四边形，/，是1中点，/1,=1，则四边形1为平行四边形，/1，/1；（2）连接，交于，连接，1，,为,中点，/,=12，为11中点，1/,1=12，1/,1=，四边形1为平行四边形，/1，1 平面11，平面11，/平面11；（3）由（1）/1，1平面11，平面11，/平面11，又正方体中，1/1,1=1，则四边形11为平行四边形，/11，11平面11，平面11，/平面11，=，平面/平面11.小提示：关键点睛：解决本题的关键是正确理解线面平行、面面平行的判定定理.17、如图，在三棱柱 111中，1平面，1=2 （1）求证：1平面11；（2）求异面直线1与1所成角的大小；（3）点在线段1上，且11=13，点在线段1上，若/平面11，求11的值 答案：（1）证明见解析；（2）60；（3）23.分析：（1）推导出1 1，1 11，11 11，从而11平面11，进而11 1，由此能证明1平面11（2）以为原点，为轴，为轴，1为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1与1所成角的大小为60（3）求出平面11的法向量，由/平面11，利用向量法能求出11的值（1）证明：在三棱柱 111中，1平面，1=2 1 1，1 11，11 11，1 11=1，11平面11，1平面11，11 1，11 1=1，1平面11（2）以为原点，为轴，为轴，1为轴，建立空间直角坐标系，1(0，0，2)，(2，0，0)，1(0，2，2)，(0，0，0)，1=(2，0，2)，1=(0，2，2)，设异面直线1与1所成角为，则cos=|1 1|1|1|=488=12，=60 异面直线1与1所成角的大小为60（3）解：(0,2,0)，(2,0,0)，1(2,0,2)，(0,0,0)，1(0,0,2)，1(0,2,2)，=(2,2,0)，1=(0,0,2)，设平面11的法向量 =(，)，则 =2+2=0 1=2=0，取=1，得 =(1,1,0)，点在线段1上，且11=13，点在线段1上，设(，)，(，)，11=，则1=31，1=1，0 1，即(2,0,2)=3(,2),(,2,2)=(0,2,2)，解得(23,0,43),(0,2 2,2 2),=(23,2 2,23 2)，/平面11，=23+2 2=0，解得=23 11的值为23 小提示：本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查化归与转化思想，是中档题 18、如图，在直角梯形ABCD中，/，点E是BC的中点将 沿BD折起，使 ，连接AE、AC、DE，得到三棱锥 (1)求证：平面 平面BCD；(2)若=1，二面角 的大小为 60，求三棱锥 的体积 答案：(1)证明见解析(2)33 分析：（1）证明 平面，得到 ，再证明 平面，得到证明.（2）,分别为,的中点，证明为二面角 的平面角，设=，根据等面积法得到=22，计算体积得到答案.(1)，=，故 平面，平面，故 ，=，故 平面，平面BCD，故平面 平面BCD.(2)如图所示：,分别为,的中点，连接,，,分别为,中点，故 ，平面，故 平面，平面，故 .,分别为,中点，故 ，故 ，=，故 平面，故为二面角 的平面角，即=60，设=，则=2，=3，=2，=23，=42+1，=162+1，根据 的等面积法：23 42+1=2 162+1，解得=22.=13(12 )=16 2 1 6=33.19、如图，长方体 1111中，|=|=1，|1|=2，点为1的中点.(1)求证：直线1/平面PAC；(2)求异面直线1与AP所成角的大小.答案：(1)证明见解析(2)30 分析：（1）设和交于点，可得 1，根据线面平行的判定定理即可得证（2）由/1，得即为异面直线1与所成的角求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.（1）设和交于点，则为的中点，连接，是1的中点，/1，又 平面，1平面，直线1/平面；（2）由(1)知，/1，即为异面直线1与所成的角，|=|=2+2=2，|=12|=22，且 ，sin=|=222=12 又 (0，90，=30 故异面直线1与所成角的大小为30