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名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一典型例题（精选试题附答案）高中数学选修一典型例题 单选题 1、已知1,2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且12=60,|1|=3|2|，则C的离心率为（）A72B132C7D13 答案：A 分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|1|,|2|，结合余弦定理可得答案.因为|1|=3|2|，由双曲线的定义可得|1|2|=2|2|=2，所以|2|=，|1|=3；因为12=60,由余弦定理可得42=92+2 2 3 cos60，整理可得42=72，所以2=22=74，即=72.故选：A 小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,间的等量关系是求解的关键.2、已知圆C1：(x3)2y21 和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）Ax2281(x1)Bx2281 Cx2281(x1)D28x21 答案：A 分析：根据双曲线定义求解|1|=+1,|2|=+3,则|2|1|=2 根据双曲线定义知的轨迹为228=1的左半支 故选：A 3、圆2+2+2 4 6=0的圆心和半径分别是（）A(1,2)，11B(1,2)，11C(1,2)，11D(1,2)，11 答案：D 分析：先化为标准方程，再求圆心半径即可.先化为标准方程可得(+1)2+(2)2=11，故圆心为(1,2)，半径为11.故选：D.4、已知椭圆:22+22=1(0)的左右焦点分别是1，2，直线=与椭圆交于，两点，|1|=3|1|，且12=60，则椭圆的离心率是（）A716B74C916D34 答案：B 分析：根据椭圆的对称性可知，|2|=|1|，设|2|=，由|1|=3|1|以及椭圆定义可得|1|=32，|2|=2，在 12中再根据余弦定理即可得到42=724，从而可求出椭圆的离心率 由椭圆的对称性，得|2|=|1|.设|2|=，则|1|=3.由椭圆的定义，知|1|+|2|=2，即+3=2，解得=2，故|1|=32，|2|=2.在 12中，由余弦定理，得|12|2=|1|2+|2|2 2|1|2|cos12，即42=924+24 2 32212=724，则2=22=716，故=74.故选：B.5、已知椭圆24+23=1的两个焦点为1，2，过2的直线交椭圆于，两点，若 1的周长为（）A2B4C6D8 答案：D 分析：运用椭圆的定义进行求解即可.由24+23=1 =2.因为，是椭圆的上的点，1、2是椭圆的焦点，所以1+2=2,1+2=2，因此 1的周长为1+1=1+2+2+1=2+2=4=8，故选：D 6、已知抛物线2=焦点的坐标为(0,1)，P为抛物线上的任意一点，(2,2)，则|+|的最小值为（）A3B4C5D112 答案：A 分析：先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.因为抛物线2=焦点的坐标为(0,1)，所以4=1，解得=4 记抛物线的准线为l，作 于，作 于，则由抛物线的定义得|+|=|+|=3，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立 故选：A.7、设、，向量 =(,1,1)，=(1,1)，=(3,6,3)且 ，/，则|+|=（）A22B23C4D3 答案：D 分析：利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量 +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.因为 ，则 =3 6+3=0，解得=1，则 =(1,1,1)，因为/，则13=6，解得=2，即=(1,2,1)，所以，+=(2,1,2)，因此，|+|=4+1+4=3.故选：D.8、经过点(2，2)，倾斜角是 30的直线的方程是（）Ay2=33(x2)By23(x2)Cy2=33(x2)Dy23(x2)答案：C 分析：根据k=tan30求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.直线的斜率k=tan30=33，由直线的点斜式方程可得y233(x2)，故选：C 9、直线=(1)+2恒过定点（）A(1,2)B(1,2)C(2,1)D(2,1)答案：B 分析：由=1时，=2可得到定点坐标.当 1=0，即=1时，=2，直线=(1)+2恒过定点(1,2).故选：B.10、“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 分析直线+1=0与直线 +1=0相互垂直得到 ，再利用充分必要条件的定义判断得解.因为直线+1=0与直线 +1=0相互垂直，所以1 ()+(1)=0，所以 .所以=1时，直线+1=0与直线 +1=0相互垂直，所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的充分条件；当直线+1=0与直线 +1=0相互垂直时，=1不一定成立，所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A 小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.填空题 11、已知圆1的方程为1：2+2 2 4+3=0，直线：=(0)若直线与圆1和圆2均相切于同一点，且圆2经过点(4,1)，则圆2的标准方程为_ 答案：(3)2+2=2 分析：由圆1与直线相切得，直线与圆1的方程联立求得切点坐标，设2(,)，由两点间的距离公式可得2的圆心坐标和半径，从而得到答案.方程为1：(1)2+(2)2=2，圆心1(1,2)，半径为2，因为圆1与直线：=(0)相切，所以|12|2=2，解得=1，所以直线：=1，由(1)2+(2)2=2=1 得=2=1，得切点为(2,1)，设2(,)，所以(2)2+(1)2=(4)2+(+1)2，且12=1，由得=3,=0，所以2(3,0)，所以圆2的半径为(3 2)2+(0 1)2=2，所以圆2的标准方程为(3)2+2=2.所以答案是：(3)2+2=2.12、过点(1,2)且与圆2+2=1相切的直线的方程是_ 答案：=1或3 4+5=0 分析：当直线斜率不存在时，可得直线:=1，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离=|+2|2+1=1，即可求得k值，综合即可得答案.当直线l的斜率不存在时，因为过点(1,2)，所以直线:=1，此时圆心(0,0)到直线=1的距离为 1=r，此时直线:=1与圆2+2=1相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以:2=(1)，即 +2=0，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离=|+2|2+1=1，解得=34，所以直线l的方程为3 4+5=0.综上：直线的方程为=1或3 4+5=0 所以答案是：=1或3 4+5=0 13、如图所示，点、分别在空间直角坐标系 的三条坐标轴上，=(0,0,2)，平面的一个法向量为 =(2,1,2)，平面与平面的夹角为，则cos=_.答案：23 分析：分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得cos的值.由题意可知，平面的一个法向量为=(0,0,2)，所以，cos=|=423=23.所以答案是：23.14、已知平面直角坐标系中，(1,0),(1,1)，若,是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是_.答案：(32,3 12)分析：分别点,为圆心，为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解：如图，分别以点,为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点.因为(1,0),(1,1)，|=(1 1)2+1=5 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为(+1)2+2=5；以点为圆心，为半径的圆的方程为(1)2+(+1)2=5.联立方程(+1)2+2=5(1)2+(+1)2=5，解得=32（负舍），=3 12 所以点的坐标是(32,3 12)所以答案是：(32,3 12)15、椭圆22+22=1(0)离心率为33，直线 2+=0与椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_ 答案：43 分析：设(1,1)，(2,2)，利用点差法即可求出直线的斜率；解：因为椭圆22+22=1(0)离心率为33，所以=1 22=33，所以22=23 设(1,1)，(2,2)，所以=1212=12，(1+22,1+22)，因为，在椭圆上，所以122+122=1222+222=1，两式作差得12222+12222=0，即12221222=22，即(12)(1+2)(12)(1+2)=23，即=23，所以=43 所以答案是：43 解答题 16、某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图 1，、分别是正方形的三边、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”(如图 2)(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面(2)若二面角 的大小为23，求直线与平面所成角的正弦值 答案：(1)证明见解析(2)77.分析：（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得/，可得 平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得=120o，利用空间向量求线面夹角sin=cos,（1）取线段中点，连接、，由图 1 可知，四边形是矩形，且=2,是线段与的中点，/且=12，在图 1 中/且=12，/且=所以在图 2 中，/且=12，/且=四边形是平行四边形，则/由于 平面，平面，/平面.（2）由图 1，,折起后在图 2 中仍有 ,即为二面角 的平面角=120o,以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系 如图，且设=2=2=4,则(2,0,0)、(0,4,0)、(1,0,3)，=+=+12=(1,2,3),=(3,0,3),=(2,0,0)，设平面的一个法向量 =(,),由 =0 =0，得2=0 2+3=0，取=3，则=2，于是平面的一个法向量 =(0,3,2),cos,=|=2312 7=77,直线与平面所成角的正弦值为77.17、已知 的顶点坐标为(5,1)，(1,1)，(2,3)（1）试判断 的形状；（2）求边上的高所在直线的方程 答案：（1）直角三角形；（2）3+4 1=0.分析：(1)先求,直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;(2)由=43得边上高线所在直线的斜率为34,进而根据点斜式求解即可.解：（1）=1+11+5=12,=312+1=2，=3+12+5=43 =1，为直角三角形（2）因为=3(1)2(5)=43，所以，边上高线所在直线的斜率为34 直线的方程是 1=34(+1)，即3+4 1=0 18、已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线:2+=4上.（1）求半径最小时的圆的方程；（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.答案：（1）(85)2+(45)2=165；（2）证明见解析.分析：（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；（2）设定点坐标(0，0)，表示出圆的方程，当为变量时，0，0能使该等式恒成立，即40 20=0且02+02 80=0，解方程组可得定点坐标（1）因为圆心在直线:2+=4上，所以设圆心的坐标为(,4 2).又因为动圆经过坐标原点，所以动圆的半径=5(85)2+165，所以半径的最小值为455.并且此时圆的方程为：(85)2+(45)2=165.（2）设定点坐标(0，0)，因为圆的方程为：()2+(4 2)2=2+(4 2)2 所以02 20+02 2(4 2)0=0，即(40 20)+(02+02 80)=0，因为当为变量时，0，0却能使该等式恒成立，所以只可能40 20=0且02+02 80=0 即解方程组可得：0=85，0=165或者0=0，0=0（舍去）所以圆恒过一定点(165，85).19、如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是20cm，灯深8cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.答案：258 分析：根据题意建立平面直角坐标系，然后由待定系数法可得.以轴为x轴，反射镜的顶点为原点建立平面直角坐标系，如图，由题可知(8,10)，设抛物线方程为2=2(0)则有100=16，得=254，所以灯泡与反射镜的顶点O的距离为2=258.