浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题.doc

浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题年级：姓名：- 23 -浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题（含解析）考生须知：1本试卷分试题卷和答题卷两部分满分150分，考试时间120分钟2请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3考试结束，只需上交答题卡一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得.【详解】依题意可知，.故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2. 已知，则（ ）A. 15B. 21C. 3D. 0【答案】D【解析】【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据的解析式，有.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.3. （ ）A. B. 6C. D. 9【答案】B【解析】【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 若是钝角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果.【详解】,又是钝角，所以因此，故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积【详解】把三棱柱旋转为下图，由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为，故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键6. 若圆与直线相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m.【详解】由可得：，故圆心为，半径为，又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题.7. 在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8. 已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则，所以平面区域的面积，解得，此时，由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若，则与相交、平行或异面，故A错误；，又，故B正确；若，则与的位置关系不确定，故C错误；若，则或，异面，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型.10. 已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合等比数列的前项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.11. 下列不可能是函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当时，所以此时，故C选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.12. 已知，则的最大值是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得的最大值【详解】依题意，所以，也即的最大值是.故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13. 以双曲线的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点到的距离，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，设点到的距离为，则，所以，整理得，所以离心率.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14. 设（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由，得，所以所以，令，则在上为增函数，所以，即，所以B正确，由得，所以，因为在上为增函数，所以，即，所以C,D不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15. 如图，直三棱柱的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱上靠近点的三分点，M是棱上的动点，则二面角的正切值不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值，进而求得二面角的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【详解】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可知，根据直三棱柱的性质，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，设.则.设平面的一个法向量为，则，令，得.平面的一个法向量是，所以，所以，所以二面角的正切值为.因为，所以，结合二次函数的性质可知当时，有最小值；当时，有最大值为，所以，所以二面角正切值不可能是.故选：B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16. 已知，则函数的零点个数为_【答案】1【解析】【分析】画出图象，由此判断零点的个数.【详解】画出的图象如下图所示，由图可知，有个零点.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17. 在锐角ABC中，若ABC的面积为，则的长是_【答案】【解析】由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理18. 若正数a，b满足，则ab的最小值是_【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最小值.【详解】依题意为正数，且，所以，即，解得，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 已知数列和，满足，设的前n项积为，则的前n项的和_【答案】【解析】【分析】根据及前n项积为可得递推关系，整理可知为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设的前n项积为，则则时，解得，当时，又，所以，化简得（），所以是以4为首项，2为公差的等差数列， ，故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程20. 已知函数（）求的值（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（）；（）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为，代入可求得其函数值；（2）由的范围，求得的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数在给定区间上的最值.【详解】（）所以 （）由（1）得，因为，所以所以 当，即时，；当，即时， 所以当时，；当时，【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21. 如图，已知三棱锥，是边长为2的正三角形，点F为线段AP的中点（）证明：平面ABC；（）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）在PBC中，根据余弦定理可求得PC，再由勾股定理可知，PCBC，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（）以C为原点，CA的垂线所在的直线为y轴，CA和CP分别为x、z轴建立空间直角坐标系，写出向量、和，再根据法向量的性质求出平面PBC的法向量，设直线BF与平面PBC所成角为，则sin，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解【详解】（）证明：中，由余弦定理可得，因为，所以，又，所以面ABC（）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设平面PBC的法向量为，则取，则，即，所以sin，故直线BF与平面PBC所成角的正弦值【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题22. 等差数列的公差不为0，且，成等比数列（）求；（）设，为数列的前n项和，求【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式.（II）利用分组求和法求得.【详解】（I）由于，成等比数列，所以，即，即，由于，所以解得，所以数列的通项公式是.（II）依题意.所以.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题.23. 如图所示，圆，抛物线，过点的直线l与抛物线交于点M，N两点，直线OM，ON与圆分别交于点E，D（1）若，证明：；（2）若，记，的面积分别为，求的最小值（用t表示）【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设直线，将与抛物线联立，根据根与系数的关系证明，证得；（2）设直线，将与抛物线联立，得到根与系数的关系，且有，再将与圆联立，求得的横坐标，又代入化简，求得最小值.【详解】（1）设直线，由得：，所以而（2）同（）设直线，可得：，由得：，解得：，同理可得，所以，因为，所以，当且仅当或时取等号【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24. 已知函数，（）当，时，函数有且只有两个零点，求c的取值范围（）若，且对任意，不等式恒成立，求的最大值【答案】（）或；（）.【解析】【分析】（I）当时，令，转化为与有两个交点，由此求得的取值范围.（II）当时，不等式恒成立.当时，将不等式恒成立转化为，根据函数的单调性求得，对进行分类讨论，求得与的不等关系式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】（）有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线有两个点.由图易知：或（）当，时，.当时，不等式显然成立.当时，故，等价于，对于函数，在上递增，故，对于函数，在上递减，在上递增，当时，在上递减，故，即，所以当时，在上递减，在上递增，故，此时，要使b存在，则，解得：，则，所以，当且仅当时取等号，综上所述，最大值为，当，时满足要求【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.