多元一次不定方程的讲义和练习.doc

二元 一次不定方程
知识要点和基本方法
1． 当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程
2． 一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
例1． 解方程
解：由原方程，易得 因此，对的任意一个值，都有一个与之对应，此时与的值必定满足原方程，故这样的与是原方程的一组解，即原方程的解可表为
其中为任意数
整数解问题：
例2． 求方程的整数解
解：因为， 所以，不论与取何整数，总有但不能整除8，因此，不论与取何整数，都不可能等于8，即原方程无整数解
定理1：整系数方程有整数解的充分而且必要条件是与的最大公约数能整除
例3． 求方程的整数解
解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得故 ，因此，要使取得整数，1=15，，即我们找到方程的一组解设原方程的所有解的表达式为：
代入原方程，得（为整数）2与5互质，所以为整数）由此得到原方程的所有解为（为任意整数）
定理2。若与的最大公约数为1（即与互质），为二元一次整系数不定方程的一组整数解（也称为特解），则的所有解（也称通解）为
其中为任意整数
但不定方程很难直接找到一组整数解
例4． 求方程的整数解。
解：由，所以当且仅当是3的倍数时，取得即是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为
（为任意整数）
例5． 求方程的整数解
解：由原方程得：要使方程有整数解，必须为整数，取得，故是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数）
例6：若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
解：设有x只蟋蟀只，蜘蛛y只，则方程6x+8y=46，即3x+4y=23，，变形为
，又为正整数，且能被3整除，或，把，代入得方程的正整数解为
例7：用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？
解：设买面值为20分的邮票x枚，面值为60分的邮票y枚，则买面值为1元的邮票为枚，根据题意得，即，
由又，
因此可取的正整数值为1，2；当时，,当时，，均符合

正整数解问题
例1． 求方程的正整数解。
解：我们知道的所有整数解为为任意整数）
故要求原方程的正整数解，只要使即可，所以，注意到为整数，所以得所有正整数解
例2． 求方程的正整数解。
解：原方程可化为，即其中为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数）
令得：（为整数）
原方程可得无穷多组正整数解（）
例3． 求方程的正整数解。
解：如果方程有正整数解，则因此，这个方程无正整数解。
说明：一般地，若方程中，，则这个方程无正整数解。
例4． 如果三个既约真分数的分子都加上，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
解：由题意得，整理得问题转化为求的正整数解。，不定方程有一组整数解它的所有整数解为
为任意整数）令，得不等式组
整数。因此方程有两组正整数解，与为既约真分数，所以是它的唯一解，因此所求的积为
例5． 今有36块砖，36人搬，男搬4块，女搬3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？
解：设男、女、小孩分别为人，又题意列方程组：；消去得
；观察得是方程的一个解；所以方程的通解为
（为整数）。又依题意得；，又为整数，故只有则
答：有男3人，女3人，小孩30人。
例6． 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。起初每车乘22人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？
解：设原有汽车辆，总人数为，由已知条件：
是人数，应为正整数，，或23，
或共有汽车24辆，游人共529人。
例7． 求方程的正整数解
解：，应是正整数，故有以下四种可能：
其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）

例8：某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？
解：设剧场共有x排座位，第一排有个座位，则第排有座位个，根据题意得
，均为正整数，所以为奇数，且是1000的正约数。的正奇约数只有5，25，125，不合题意，又当时，舍）
当时，，符合题意，答：剧场共有25排座位。

例：一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？
解：由题意得（是正整数），可得，要使最小，则取最小值，当时，，此时

例：若都是正整数，且求的值。
解：由已知可得，观察可得，于是不定方程的解为为整数），是正整数，，得，知
例：设和大于0的整数，且①若和最大公约数为15，则；②若和的最小公倍数为45，则
解：的最大公约数为15，可令为正整数），由已知得的解为，而且为正整数，有，知；当时（舍去），当时，，此时和的最小公倍数为45，可令为正整数），由已知得，由得，于是有，则只有，此时

例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？
解：设小明摸出的10个球中有红球个，黄球个，则蓝球个，由题意得
,即而，知，故红球个数最多不超过4个。

二元一次不定方程练习
姓名学号
一． 选择题
1．方程在正整数范围内的解（ C ）
（A）有无数解 （B）只有一组 （C）只有三组 （D）以上都不对
2．方程的一组正整数解是（ C ）
（A）； （B）；

二． 判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由
1． 2．

3． 4．

三． 求下列二元一次方程的解
1． 2．

四． 求下列二元一次方程的整数解
1． 2．

3． 4．

五． 求下列方程的正整数解
1． 2．

3． 4．

六． 试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数。

七． 求不定方程的最小整数解
解：将变为，当时均不合题意，当时，
原不定方程的最小正整数解为

八． 用16元钱买面值为20分，60分，1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有多少中不同的买法？

九． 一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？
解：设取x枚1分，y枚2分，则取枚5分硬币，由题意得，均为非负数，由
得又为4的倍数，有三种不同的取法。

十． 把118分成两个整数，一个数为11的倍数，一个数为17的倍数。
解：设118=（为在整数）得特解为，通解为为整数），为整数）

十一。全年级104人到公园划船，大船每只载12人，小船每只载5人，大小船每客票价相等，但无论坐满与否都要照满载算价，试计算，大小船各租几只才能既使每人都能乘船又使费用最省？
解：设大小船各租x只，y只，由题意得为非负整数）。当时费用最省，此时由得且能被5整除，，当时，当时，
答：大小船各租2只，16只或7只，4只时，既使每人都能乘船又使费用最省。

十二。一头猪卖银币，一头山羊卖银币，一头绵羊卖银币，有人用100个银币买了100头牲畜，问买了猪、山羊、绵羊各几头？
解：设买猪x头，山羊y头，则买绵羊头，为非负整数，由题意得
，整理得，由
得，又为5的倍数，，
当时，； 当时，；
当时，；当时，，
答：买猪0头，山羊60头，绵羊40头；买猪5头，山羊42头，绵羊53头；买猪10头，山羊24头，绵羊66头；买猪15头，山羊6头，绵羊79头。

十三。小王架车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好
是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？
解：设第一次看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y（为1~9的自然数）
则，整理得，为1~9的自然数，
三块里程碑上的数分别为16，61，106；

如何解二元一次不定方程
意思就是说求方程中的整数解。
对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。
为了简化问题，我们先求的一切整数解。
解：我们对等式进行变形，得到 式①
因为𝓎是整数，所以也必须是整数，再另，变形得到，再次变形表达成 式②
因为𝓍是整数，所以也必须是整数，然而是整数的条件就是是3的倍数，所以 式③
这样是整数才能满足。从式③反推回式②，得到
再反推回式①得到
至此，我们就得到了不定方程的全部整数解式中𝓂可以取任意的整数。
对结果表示怀疑？那么我们试几个&120002;值：
当𝓂=0时，
当𝓂=1时，
如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~

我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：
式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到 式中𝓍 𝓎都为整数，所以我们又变形得到，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如，这时因为是整数，假设等于𝓂，得到，变形得到，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的𝓍 𝓎的通解表达式了。
上面的分析例子虽然简单，但是思想是对所有的不定方程都通用的，如果没有理解的话，请再仔细的看一遍，自己再演算一遍，肯定就OK了。
以上就是普通解二元不定方程的方法，时间很晚了，数论上的方法我就先不讲了，下次补上。

Winxos 2009-8-26 3:02:53
今天我接着上次的给大家讲一下数论中用的辗转相除法。
实际上辗转相除法就是上面解方程法的简化计算版本，原理是一样的。
我们还是以为例子来讨论
式中，我们对来辗转相除（就是求的最大公因子的过程），如下：
，然后让，重复上一步操作，
，停止计算（余数为0或者1就停止计算）。
表构造说明：第一行表示第几项，第二行𝓆就是我们计算过程中得到的商序列𝓆k，第三行规律为𝓅0=1，𝓅1=𝓆1， ，形象描述就是𝓅从𝓅2开始，等于沿着表中红色箭头方向第一项加上后两项的乘积。第四行规律为ℚ0=0，ℚ1=1， 绿色箭头方向。
我们建立一个辅助表格：

0
1
2
3
…
K
𝓆

&120006;1
𝓆2
𝓆3
…
𝓆k
𝓅
1
𝓆1
𝓅2
𝓅3
…
𝓅k
ℚ
0
1
ℚ2
ℚ3
…
ℚk
表1 二元一次不定方程辅助表

下面我来告诉大家如何使用这个表，我们已经计算得到，
我们也知道𝓅0=1，𝓅1=𝓆1，ℚ0=0，ℚ1=1，将上面的数填入表中，我们得到下面的表：

0
1
2
𝓆

1
1
𝓅
1
1
𝓅2
ℚ
0
1
ℚ2
表2
根据我们得到
根据我们得到
公式 1：不定方程的一个特解为 其中n就是表中的第一行。
所以我们得到了不定方程的：
一个特解为：
下面给出几个相关的定理：
定理 1：如果二元一次不定方程有一整数解 ；
又假定
则的一切解可以表示为
定理 2：有整数解的充分必要条件是
术语解释：表示的最大公因子， 表示的最大公因子能整除

根据上面的定理1，我们可以得到不定方程的通解为：

经过上面的练习，现在给出具体的求解的步骤：
① 判断是否有解，看是否
② 若 将 两边同时除以，得到 ；互质
③ 先利用表1及公式1，求的的一个特解
④ 将特解放大倍，再绝对值变换，得到的特解
⑤ 根据定理1，求得的通解，这也是原方程的通解
⑥ 完毕

下面我再给出一个书上的复杂点的例子，以及用上面的方法求解过程。
题目：求的一切整数解。
解：
① 判断是否有解
所以该不定方程有解
② 变形处理
等式两端同时除以 得到
③ 求特解
我们先求解，为了计算方便，我们进行绝对值处理，以及变量换名字，我们变成求解，辗转除107与37，过程如下：

余数为1，停止计算
我们将带入表 1，得到：

0
1
2
3
𝓆

2
1
8
𝓅
1
2
𝓅2
𝓅3
ℚ
0
1
ℚ2
ℚ3
根据我们得到
根据我们得到
继而求得：

根据公式 1，得到的特解为
所以的特解为
④ 求的特解
将的特解放大25倍，得到的特解
⑤ 求的通解
根据定理 1，得到的通解为

或者为了好看，处理小一点，表达成：

这也就是题目的通解。
完毕。

辗转相除法是我国古代很早前就发明的算法，为我们的祖先感到骄傲。
希望看到这篇文章的朋友能了解辗转相除法，能够很轻松的解二元一次不定方程，那样我就很满足了。如果朋友您从这里学会了二元一次不定方程的解法，不妨留下脚印，如果还有什么不理解的地方欢迎给我留言。

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