教师版高考与阿基米德三角形答案.doc

高考与阿基米德三角形试题答案
1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）
1．证明：（1）设，由已知得到，且，，
设切线的方程为：由
得
从而
,解得
因此的方程为：
同理的方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
（2）垂线的方程为：，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程
2．（2008年山东卷理科第22题）
解：（Ⅰ）证明：由题意设．
由得，得，
所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．
所以，① ．②
由①、②得， 因此，即．
所以三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
， ，
所以是方程的两根，因此，，
又，所以．
由弦长公式得．
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．
（Ⅲ）解：设，由题意得，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上，
代入得．若在抛物线上，则，
因此或．即或．
（1）当时，则，此时，点适合题意．
（2）当，对于，此时，
，又，，
所以，即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的点．
综上所述，仅存在一点适合题意．
3．（2007年江苏卷理科19题）
解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以
，即，
所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
4．（2005年江西卷理科22题）
解：（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB
5．（2006年全国卷2 理科第21题）
解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0．　　　……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

广东模考试题
19. （本小题满分14分）2010届广州二模
(1) 解:设点、的坐标分别为、，
∵ 、分别是抛物线在点、处的切线，
∴直线的斜率，直线的斜率.
∵ ,（资料来源：数学驿站 ）
∴ , 得. ① …2分
∵、是抛物线上的点,
∴
∴ 直线的方程为,直线的方程为.
由 解得
∴点的纵坐标为. …4分
(2) 证法1：∵ 为抛物线的焦点， ∴ .
∴ 直线的斜率为，
直线的斜率为.
∵ …6分

.
∴.
∴、、三点共线. …8分
证法2：∵ 为抛物线的焦点， ∴ .
∴，
.
∵ , …6分
∴ .
∴、、三点共线. …8分
证法3：设线段的中点为, 则的坐标为.
抛物线的准线为.
作, 垂足分别为.
∵ 由(1)知点的坐标为,
∴.
∴是直角梯形的中位线.
∴. …6分
根据抛物线的定义得:,
∴.
∵,为线段的中点,
∴.
∴,即.
∴、、三点共线. …8分
(3)解: 不存在. 证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为，
依题意得，且，
由，得.
∴ 四边形是正方形.
∴ . …10分
∵点的坐标为，
∴,得.
把点的坐标代入直线, 得
解得或,
∴点的坐标为或.
同理可求得点的坐标为或.
由于、是抛物线上的不同两点，不妨令,.
∴, . …13分
∴, 这与矛盾.
∴经过、两点且与、都相切的圆不存在. …14分
18. (本题满分13分)2009韶关一模
解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是
（II）解法一：
由已知，
故
将（1）式两边平方并把 （3）
解（2）、（3）式得，
且有 …………8分
抛物线方程为 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
……11分

所以为定值，其值为0. …………13分
解法二：
由已知N（0，2）

， …………8分
后面解法和解法一相同
20．（本小题满分14分）2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学
解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.
由已知条件，得，
∴ 解得 .所以椭圆的方程为：. …………分
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为 ，，
由 消去并整理得 ， ∴ . …………分
∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
， ，即 ， ，
解得两条切线、的交点的坐标为，即，……分
∴
∴. …………分
（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，
设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.
令得，，
解得或 ， …………分
故不妨取，即直线过点.
综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.
此时，两切线的方程分别为和. …………分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
. …………分

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