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排列组合知识总结+经典题型.doc

1、_(1)知识梳理1分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法,在第2类中有m2种不同的方法在第n类型有m3种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法;那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒:分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏。3排列:从n个不同的

2、元素中任取m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号表示.5排列数公式:特别提醒:(1)规定0! = 1(2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,.an其中限重复数为n1、n2nk,且n = n1+n2+nk , 则S的排列个数等于.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数.6组合:从n个不同的元素中任取

3、m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7组合数公式:8两个公式:特别提醒:排列与组合的联系与区别.联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男

4、运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.考点三:综合问题例3.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和

5、小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.48 B.12 C.180 D.1624.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6 B.12 C.30 D.366.用

6、0 到9 这10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A324 B.328 C.360 D.6487.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数为( )A.85 B.56 C.49 D.288.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为( )A.18 B.24 C.30 D.309.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 ( )A.360 B.288 C.216 D.96参考答案:

7、例1解:(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:方法三:若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:(2)方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法,根据分步乘法计数原理,共有方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空档中选

8、出一个供甲、乙放入,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有种站法,故共有站法为也可用“间接法”,6个人全排列有种站法,由(2)知甲、乙相邻有种站法,所以不相邻的站法有.(4)方法一:先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种,然后将甲、乙按条件插入站队,有种,故共有站法.方法二:先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法,最后对甲、乙进行排列,有种方法,故共

9、有站法.(5)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种,再让其他4人在中间位置作全排列,有种,根据分步乘法计数原理,共有站法.方法二:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有种站法,由分步乘法计数原理共有站法.(6)方法一:甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有站法.方法二:以元素甲分类可分为两类:甲站右端有种站法,甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有种,故共有站法.例2解 (1)第一步:选3名男运动员,有种选法.第二步:选2名女运动员,有种选法.共有种选法.(2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种

10、情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法为.(3)方法一:可分类求解:“只有男队长”的选法为;“只有女队长”的选法为;“男、女队长都入选”的选法为;所以共有种选法.9分方法二:间接法:从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为种.9分(4)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,共有种选法.其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选

11、法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例3解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另 外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不

12、均匀分组有种方法;第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂检测答案1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( )A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种解析:分为2男1女,和1男2女两大类,共有=70种,解题策略:合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( )A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种解析:合理分类,通过分析

13、分为(1)小张和小王恰有1人入选,先从两人中选1人,然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有种选法。(2)小张和小赵都入选,首先安排这两个人,然后再剩余的3人中选2人排列有种方法。共有24+12=36种选法。解题策略:1.特殊元素优先安排的策略。 2.合理分类与准确分步的策略。 3.排列、组合混合问题先选后排的策略。3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 ( )A.48 B.12 C.180 D.162解析:分为两大类:(1)含有0,分步1,从另外两个偶数中选一个,种方法,2.从3个奇数中选两个,有种方法;3.给0

14、安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有种方法;4.其他的3个数字进行全排列,有种排法,根据乘法原理共种方法。(2)不含0,分步,偶数必然是2,4 ;奇数有种不同的选法,然后把4个元素全排列,共种排法,不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略:1.特殊元素优先安排的策略。 2.合理分类与准确分步的策略。 3.排列、组合混合问题先选后排的策略。4.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种解析:4人中恰有1名女同学的情况分为两种,

15、即这1名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法共有种选法。解题策略:合理分类与准确分步的策略。5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6 B.12 C.30 D.36解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有种选法,然后乙从剩余的两门选,有种不同的选法,全不相同的选法是种方法,所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法。解题策略:正难则反,等价转化的策略。6.用0 到9 这10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )A.324 B.328 C.3

16、60 D.648解析:第一类个位是零,共种不同的排法。 第二类个位不是零,共种不同的解法。解题策略:合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数为( )A.85 B.56 C.49 D.28解析:合理分类,甲乙全被选中,有种 选 法,甲乙有一个被选中,有种不同的选法,共+=49种不同的选法。解题策略:(1)特殊元素优先安排的策略,(2)合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为( )A.18 B.24 C.3

17、0 D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有种不同的分法,然后三组进行全排列共种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共种不同的排法。所以总的排法为种注意:这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ,这里不再详述。解题策略:1.正难则反、等价转化的策略2.相邻问题捆绑处理的策略3.排列、组合混合问题先选后排的策略;9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A.360 B.288 C.216 D.96解析:分析排列组合的问题第一

18、要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从3个女生中选两位,有种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有中不同的排法,然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有种不同的排法,共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端,也可能是右端,有种不同的方法,然后其他两个男生排列有种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有种不同的排法。共种不同的排法, 故总的排法为种不同的方法。 本题难度大,体现的排列组合的解题策略多: (1)特殊元素优先安排的策略:(2)合理分类与准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问题捆绑处理的策略;(6)不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。Welcome ToDownload !欢迎您的下载,资料仅供参考!精品资料

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