2022高考数学一轮复习-第八章-立体几何-8.1-空间几何体的结构及其三视图、直观图学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其三视图、直观图学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其三视图、直观图学案北师大版

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第八章　立体几何
8.1　空间几何体的结构及其三视图、直观图
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.空间几何体的结构特征

(1)
多
面
体
①棱柱的侧棱都　　　　　　　,上、下底面是　　　　且平行的多边形. 
②棱锥的底面是　　　　　　　,侧面是　　　　　　　　　　　. 
③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是　　　　多边形 
(2)
旋
转
体
①圆柱是以　　　　的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 
②圆锥是以直角三角形的一条　　　　所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 
③圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截　　　　得到. 
④球可以由　　　　　　　绕直径所在直线旋转得到 

2.空间几何体的三视图
(1)几何体的三视图包括　　　　　　　　　　　,分别是从几何体的　　　　方、　　　　方、　　　　方观察几何体画出的轮廓线. 
(2)三视图的画法
①基本要求:　　　　　,　　　　　,　　　　　. 
②画法规则:　　　　　一样高,　　　　　　一样长,　　　　一样宽;看不到的轮廓线画　　线. 
3.空间几何体的直观图
(1)画法:常用　　　　　　画法. 
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为　　　　　　　,z'轴与x'轴　　　　. 
②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中　　　　　　　　　　　　,平行于y轴的线段长度在直观图中　　　　　　　　　　　. 

1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)底面与水平面平行放置的圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形.
(3)底面与水平面平行放置的圆台的主视图和左视图为全等的等腰梯形.
(4)底面与水平面平行放置的圆柱的主视图和左视图为全等的矩形.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)
(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(　　)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.(　　)
(5)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.(　　)
2.一个多边形沿着垂直于它所在的平面的方向平移一段距离,可以形成的几何体是(　　)

A.棱锥 B.棱柱
C.圆柱 D.长方体
3.(2020河北邢台模拟,理4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,几何体ABCDEC1的左视图与俯视图如图所示,则该几何体的主视图为(　　)

4.(2020北京海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为(　　)

A.5
B.22
C.23
D.13
5.利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
空间几何体的结构特征

【例1】(1)(2020山东日照模拟)下列结论正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
(2)以下命题:
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;

④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?
解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.
3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
对点训练1(1)下面是关于四棱柱的四个命题:
①若有一个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.
其中,真命题的编号是　　　　. 
(2)(2020广东佛山模拟)下列结论正确的是(　　)
A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B.六条棱长均相等的四面体是正四面体
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台

考点
平面图形与其直观图的关系

【例2】(2020河北衡水中学调研)如图所示,直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是　　　　　. 
思考用斜二测画法画直观图的法则和技巧有哪些?
解题心得1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=24S原图形.
2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.
对点训练2(1)利用斜二测画法画平面内一个△ABC的直观图得到的图形是△A'B'C',那么△A'B'C'的面积与△ABC的面积的比是(　　)
A.24 B.34
C.22 D.32
(2)(2020黑龙江哈尔滨三中期末)已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形,则原四边形ABCD的面积为(　　)
A.2 B.22 C.22 D.42

考点
空间几何体的三视图(多考向探究)

考向1　由空间几何体的直观图识别三视图
【例3】(1)(2020湖北武汉模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的主视图、俯视图是(注:选项中的上图为主视图,下图为俯视图)(　　)

(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的主视图(也称正视图)是(　　)

思考由直观图识别三视图时应注意什么问题?
考向2　由空间几何体的三视图还原直观图
【例4】(1)(2020北京西城一模)某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则(　　)

A.22∉S,且23∉S B.22∉S,且23∈S
C.22∈S,且23∉S D.22∈S,且23∈S
(2)

(2020全国2,理7)右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在主视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在左视图中对应的点为(　　)
A.E B.F C.G D.H
思考由三视图还原几何体的直观图基本步骤有哪些?
考向3　由三视图的两视图推测另一视图
【例5】已知一三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为(　　)

思考如何由三视图的两视图推测另一视图?
解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意主视图、左视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.
2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.
3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,看看给出的部分三视图是否符合.
对点训练3(1)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为(　　)

(2)(2020安徽高三联考)某多面体的三视图如图所示,该多面体的各个面中有若干个三角形,这些三角形的面积之和为(　　)

A.16 B.12 C.8+42 D.8+46
(3)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为(　　)

A.1 B.22 C.23 D.13
(4)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.
2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状.
3.三视图的画法
(1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;
(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.

1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点.
2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.
3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易混淆实虚线.

易错警示——三视图识图中的易误辨析
在直观想象核心素养的形成过程中,辨析三视图识图中的易错、易混点,能够进一步发展学生几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.
【例1】如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4且垂直于底面,该三棱锥的主视图是(　　)

易错分析如果忽视三棱锥底面的垂直关系,容易错选为D,误认为点B在主视图中的位置落在线段AO上,而事实上三棱锥的底面是一个直角三角形,即∠AOB=90°,所以点B在主视图中的位置落在点O上.
答案B
解析由直观图可以看出,其主视图是一个直角三角形,水平的直角边长为3,与其垂直的直角边长为4,点B在主视图中的位置落在点O上,所以选B.
反思提升画几何体的三视图,要注意分析几何体中的垂直关系,找线段的投影先找线段的两个端点的投影,两端点的投影的连线即为线段的投影.

【例2】某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥最长的棱长为(　　)

A.5 B.22 C.3 D.32
易错分析因为三视图中的俯视图是一个平行四边形,学生容易把几何体的直观图画成四棱锥.从而把题目做错.仔细观察三视图中的俯视图,四边形内有一虚线,若是四棱锥就不会出现这条虚线了.
答案C

解析如图所示,该几何体为三棱锥P-ABC.过点P作PO⊥平面ABC,垂足为O点,连接OB,OC,则四边形ABOC为平行四边形.OA⊥OB.则最长棱为PC=PO2+OA2+AC2=22+22+12=3.故选C.
反思提升俯视图之所以是四边形,是因为从上往下投影时,三棱锥顶点P的投影O落在了△ABC的外面,棱PC,PB的投影当然为OC,OB了.
【例3】将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为(　　)

易错分析(1)不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.
答案B
解析左视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C不平行,投影为相交线,故应选B.
反思提升1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A.
2.因对三视图的画法要求不明而误选C或D,在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画.
3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求.

第八章　立体几何
8.1　空间几何体的结构及
其三视图、直观图
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)①平行且相等　全等　②任意多边形
有一个公共顶点的三角形　③相似
(2)①矩形　②直角边　③圆锥
④半圆面或圆面
2.(1)主视图、左视图、俯视图　正前　正左
正上　(2)①长对正　高平齐　宽相等
②主左　主俯　左俯　虚
3.(1)斜二测　(2)①45°(或135°)　垂直　②保持原长度不变　变为原来的一半
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.B　一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离后,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行,各边在平移过程中形成的面均为平行四边形,故形成的几何体为棱柱.故选B.
3.A　该几何体为图中AED-BC1C,正投影为EDCC1,ABE与EBC1不在同一平面,所以主视图为A选项的图形.故选A.

4.C　由三视图知,四棱锥底面是直角梯形,EA⊥底面ABCD,EA=AB=BC=2,最长棱是EC,
在Rt△ABC中,AC=22,在Rt△EAC中,EC=AC2+AE2=8+423,故选D.
5.1　由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;④错误,而菱形的直观图也不一定是菱形.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)A　(1)A错误,如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.

(2)命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.
对点训练1(1)②④　(2)B　(1)①显然错;②正确,两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;③错,可以是斜四棱柱;④正确,体对角线两两相等,则其中两条体对角线所在的平行四边形为矩形.故填②④.
(2)底面是等边三角形,且各侧面三角形全等,这样的三棱锥才是正三棱锥,所以A错;斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形,所以C错;截面平行于底面时,底面与截面之间的部分才叫圆台,所以D错.

例22+2　把直观图还原,原平面图形如图所示,在直角梯形ABCD中,AB=2,BC=2+1,AD=1,所以面积为12×(2+2)×2=2+2.
对点训练2 (1)A　(2)D　(1)将△A'B'C'放入锐角为45°的斜角坐标系x'O'y'内,如图(1)所示,

过C'作C'D'⊥A'B',垂足为D',
将其还原为真实图形,得到图(2)的△ABC,其中OA=O'A',AB=A'B',OC=2O'C',在△O'C'D'中,O'C'=C'D'sin45°=2C'D',即C'D'=22O'C'=24OC,
∴△ABC的高等于OC,由此可得△ABC的面积S=12AB·OC,
∵直观图中△A'B'C'的面积为S=12AB·24OC,∴直观图和真实图形的面积的比值等于24,故选A.
(2)因四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形,所以其边长为2,
所以直观图的底边长为2,高为4,所以面积为42,故选D.
例3(1)A　(2)A　(1)主视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.

(2)由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A,E,C1的平面截正方体的直观图如右图,则该几何体的主视图为图中粗线部分.故选A.
例4(1)D　(2)A　(1)如图所示,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,四棱锥C1-ABCD满足条件.
故AB=BC=CD=AD=CC1=2,BC1=DC1=22,AC1=23.则集合S={2,22,23},故22∈S,23∈S.故选D.

(2)根据三视图,画出多面体立体图形,

D1D4上的点在主视图中都对应点M,直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N,
所以在主视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3D4,上的所有点在左视图中都对应E,则点D4在左视图中对应的点为E.故选A.

例5C　由已知条件得直观图如图所示,主视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA形成的投影,应为虚线.故选C.
对点训练3(1)A　(2)D　(3)C　(4)C　(1)如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:

则它在平面zOx的投影即主视图为,故选A.

(2)由三视图还原几何体,如图所示,
该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.
由题可得,S△ABC=12×42=8,又EF=42+22=25,GF=42,故S△EFG=12×42×(25)2-(22)2=46,因此三角形的面积之和为8+46,故选D.

(3)由几何体的三视图转换为几何体的直观图如右:
根据三视图中的线段长度,得AB=22,BE=AE=DE=2,由勾股定理得CE=5,
从而得AC=4+(5)2=3,所以直线AC和底面的夹角最小,sin∠ACE=23.
(4)若俯视图为选项C,左视图的宽应为俯视图中三角形的高32,所以俯视图不可能是选项C.