高二数学“每周一练”系列试题(28).pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料高二数学“每周一练”系列试题（1）1已知椭圆)0(12222babyax的长轴长为4，离心率为21，21,FF分别为其左右焦点一动圆过点2F，且与直线1x相切。（）（）求椭圆1C的方程；（）求动圆圆心轨迹C的方程；（）在曲线C上有两点NM,，椭圆1C上有两点QP,，满足2MF与2NF共线，2PF与2QF共线，且022MFPF，求四边形PMQN面积的最小值。2已知抛物线yx62的焦点为F，椭圆C：)0(12222babyax的离心率为23e，P是它们的一个交点，且2|PF（I）求椭圆C的方程；（II）若直线)0,0(mkmkxy与椭圆C交于两点AB，点D满足BDAD=0，直线FD的斜率为1k，试证明411kk3 已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线:lykxm交椭圆于不同的两点A，B（1）求椭圆的方程；（2）若mk，且0OA OB，求k的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（3，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线：ykxm（k0，m0）与双曲线C交于不同的两点MN，且线段MN的垂直平分线过点A（0，1），求实数m的取值范围推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料5已知动圆P过点(2,0)N并且与圆22:(2)4Mxy相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点 N的直线l与轨迹 W交于 A B两点。（1）求轨迹W的方程；（2）若2ANNB，求直线l的方程；（3）对于l的任意一确定的位置，在直线12x上是否存在一点Q，使得0QAQB，并说明理由。参考答案推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1.解：（）（）由已知可得3122142222cabcaacea，则所求椭圆方程134:221yxC.（）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为)0,1(，准线方程为1x，则动圆圆心轨迹方程为xyC4:2.（）当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，此时 PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ4，从而11|44822PMQNSMNPQ.设直线MN的斜率为k，则0k,直线MN的方程为：)1(xky直线 PQ的方程为1(1)yxk，设11223344(,),(,),(,),(,)M xyN xyP xyQ xy由2(1)4yk xyx，消去y可得0)42(2222kxkxk由抛物线定义可知：22221224424211|kkkxxNFMFMN由221(1)143yxkxy，消去y得222(34)84120kxxk，从而22342112(1)|1()|34kPQxxkk，222224211412(1)(1)|(4)24223434PMQNkkSMNPQkkkk令21kt，k0，则1t推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料则222221242424|2123(1)4(1)3213PMQNttSMNPQtttttt2221134(1)(0,3)ttt所以2248213PMQNStt所以四边形PMQN面积的最小值为8.2.解：（I）设将),(ppyxP，根据抛物线定义，21py，3px，23e，即23122ab，224ba，椭圆是,142222bybx把)21,3(P代入，得a=2，b=1，椭圆 C的方程为1422yx；（II）方法 1：,0BDADDBAD，点 D为线段 AB的中点设),(),(2211yxByxA),(DDyxG，141422222121yxyx，DDkyx4，由mxkyDD，得0412kmyD，)23,0(F，DDDDDkykkyyxyk8341423231，Dykk83411，411kk方法 2：,0BDADDBAD，点D为线段AB中点，设),(),(2211yxByxA),(DDyxG，141422222121yxyx，kxyDD4，由mxkyDD，得2241,414kmykkmxDD，)23,0(F，kkmkkkkmxykDD418)41(34142341232221，418)41(321mkkk，0m，08)41(32mk，411kk推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料方法 3：由1422yxmkxy，得0)1(48)41(222mkmxxk，令0)1)(41(16642222mkmk，得2241mk，设),(),(2211yxByxA，.418221kkmxx,0BDADDBAD，点D为线段AB的中点，设),(DDyxG，222241414,414kmmkmkmxkykkmxDDD，)23,0(F，kkmkkkkmxykDD418)41(34142341232221，418)41(321mkkk，0m，08)41(32mk，411kk3.设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，解得2c由222abc，得1b所求椭圆方程为2213xymk，(1)ykxkk x设1122(,),(,)A xyB xy，其坐标满足方程2213(1)xyyk x，消去y并整理得2222(13)6330kxk xk，则222264 13330()kkk故22121222633,1313kkxxx xkk0OA OB，12121212(1)(1)x xy yx xk xk x2221212(1)()kx xkxxk2222222223363(1)0131331kkkkkkkkk3k，经检验3k满足(*)式由已知，2321mk，可得223(1)4mk将ykxm代入椭圆方程，整理得222(13)6330kxkmxm222(6)4(13)(33)0()kmkm2121222633,1313kmmxxx xkk推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2222222122223612(1)|(1)()(1)(31)31k mmABkxxkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk242221212123334(0)196123696kkkkkk当且仅当2219kk，即33k时等号成立经检验，33k满足（*）式当0k时，|3AB综上可知，max|2AB所以，当|AB最大时，AOB的面积取得最大值max1332222S4解：（1）设双曲线方程为x2a2y2b21（a 0，b0）由已知得a3，c2.又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为x23y21.（2）联立ykxmx23y21整理得（13k2）x2 6kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，13k2012(m213k2)0，可得m2 3k21 且k213设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）则x1x26km13k2，x0 x1x223km1 3k2，y0kx0mm13k2.由题意，ABMN，kABm13k213km13k21k（k0，m0）整理得 3k24m1将代入，得m24m0，m0 或m4.又 3k24m10（k0），即m14m的取值范围是（14，0）（4，）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料5解：（1）依题意可知2PMPN24PMPNMN，点P 的轨迹W是 以M N 为 焦 点 的 双曲 线 的 右 支，设 其 方 程为22221(0,0)xyabab则1,2ac2223bca，轨迹W的方程为221,(1)3yxx（2）当l的斜率不存在时，显然不满足2ANNB，故l的斜率存在，设l的方程为(2)yk x，由22(2)13ykxyx得2222(3)4430kxk xk，又设1122(,),(,)A x yB xy，则212221224224034303164(3)(43)0kxxkkx xkkkk 由解得23k，2ANNB11222(2,)(2,)xyxy2162xx代入得212463kxk，211243(62)3kxxk消去1x得235k，即35k，故所求直线l的方程为：35(2)yx；（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线12x有公共点若直线l的斜率不存在，则以AB为直径的圆为22(2)9xy，可知其与直线12x相交；若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为(2)yk x，1122(,),(,)A x yB xy由（2）知23k且212243kxxk，又(2,0)N为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，则22122246(1)()22233kkABe xxakk设以 AB为直径的圆的圆心为S，点 S到直径12x的距离为d，则2212221213(1)22323xxkkdkk推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2222223(1)3(1)3(1)22(3)32(3)ABkkkdkkk23k02ABd即2ABd，即直线12x与圆 S相交。综上所述，以线段AB为直径的圆与直线12x相交；故对于l的任意一确定的位置，与直线12x上存在一点Q（实际上存在两点）使得0QAQB