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毕业论文
标准型与矩阵可对角化

摘要 本文以-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.

关键词 矩阵对角化 -矩阵 Smith标准型 Jordan标准型 Hamilton-Cayley定理

1 引言
阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.那么当只有个线性无关的特征向量时,与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.
Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外, Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
2 -矩阵
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.
2.1 -矩阵及其标准型
定义1 称矩阵为-矩阵,其中元素

为数域上关于的多项式.
定义2 　称阶-矩阵是可逆的,如果有

并称为的逆矩阵.反之亦然.
定理 矩阵可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
.
证明：（1）充分性 设是一个非零的数.表示的伴随矩阵,则也是一个-矩阵,且有

因此, 是可逆的.
(2)必要性 设有可逆矩阵,则

两边取行列式有

由于与都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.
例题1 判断-矩阵

是否可逆.
解 虽然

是满秩的,但不是非零常数,因而是不可逆的.
注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3 如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价,记为

定理2 矩阵与等价的充要与条件是存在可逆矩阵,使得

证明 因为,所以可以经过有限次初等变换变成,即存在初等矩阵

与初等矩阵

使得

令
,

就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
引理1 设-矩阵

的左上角元素,并且至少有一个不能被整除,则一定可以找到一个与等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比的次数低.
定理3 任意阶的-矩阵都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的标准型.

这里
.
非零对角元是首一（首项系数为1）多项式，并且

例题 求-矩阵

的标准型.
解

即为所求的标准型.
2．2 -矩阵的性质
定义4　矩阵的标准型中的非零对角元

称为的不变因子.
定义5　矩阵的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1） 最大公因式称为的k阶行列式因子.
定理4 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.
证明 设-矩阵经过一次行初等变换化为了，与分别是与的阶行列式因子.需要证明.分3种情况讨论：
（1）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者与的某个阶子式反号,所以,是的阶子式的公因子,从而.
（2）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者等于的某个阶子式的倍.所以,是的阶子式的公因式,从而.
（3）,此时,中那些包含行与行的阶子式和那些不包含行的阶子式都等于中对应的阶子式；中那些包含行但不包含行的阶子式,按行分成两个部分,而等于的一个阶子式与另一个阶子式的倍的和,,也就是的两个阶子式的线性组合,所以,是的阶子式公因式,从而.
对于列变换,可以一样地讨论.总之,经过一系列的初等变换变成，那么.又由于初等变换的可逆性,经过一系列的初等变换可以变成,从而也有.
当所有的阶子式为零时,所有的阶子式也就等于零；反之亦然.故与又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.
既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为

其中是首项系数为1的多项式,且,其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,如果有一个阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个阶子式一定为0.因此,为了计算阶行列式因子,只要看由有行与列组成的阶子式就可以了,而这个阶子式等于
.
显然,这种阶子式的最大公因式就是
.
定理5 矩阵的标准型是唯一的,并且
.
证明 设的标准是
.
由于与等价，则它们有相同的秩与相同的行列式因子,因此, 的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数.的阶子式因子就是

于是
.
这说明的标准型的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的,所以得标准型是唯一的.证毕.
定理6　矩阵与等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）.
证明：上一个定理的证明给出了-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此,说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子.
必要性已由定理1.2.1给出.
充分性显然.事实上，若-矩阵与有相同的不变因子,则与和同一个标准型等价,因而与等价.证毕.
定义6 矩阵的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为的初等因子.
定理7 矩阵与等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等.
例题3 求矩阵的初等因子,其中

解:

由于有两个5阶子式

是互素的,所以

从而

而又

所以的不变因子为

所以的初等因子为

3 Jordan标准型与矩阵可对角化
在掌握了-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心.
3．1 对角化的定义及判定定理
定义7 如果方阵相似于对角阵,即存在可逆矩阵和对角阵,使得,则称可对角化.
定理 (对角化定理) 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.
事实上,,为对角阵的充分必要条件是的列向量是的个线性无关的特征向量.此时,的对角线上的元素分别是的对应于中的特征向量的特征值.
换句话说,可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量形成的基,我们称这样的向量为特征向量基.
证 首先看到,若是列为的任一阶矩阵,是对角线元素为的对角阵,那么
（1）
而
（2）
现在假设可对角化且,用右乘等式两边,则有.此时由（1）和（2）得
（3）
由列相等,有
（4）
因为可逆,故的列必定线性无关.同样,因为这些非零,（4）表示是特征值,是相应的特征向量.这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性.
最后，给定任意个特征向量，用它们作为矩阵的列,并用相应的特征值来构造矩阵,由（1）~（3）,等式成立而不需要特征向量有任何条件.若特征向量是线性无关的，则是可逆的,由可推出.证毕.
例题4 可能的话,将下面的矩阵对角化：

解 由的特征多项式：

得特征值是和.但当我们找特征向量时
对于的特征向量：

对于的特征向量：

没有有其他特征向量了,的每个特征向量都是或的倍数,因此不能利用的特征向量构造出的基.由定理3.1.1,不能对角化.
3．2 Jordan标准型与对角化的关系
定义8 形如
,（）
的块对角阵为Jordan型矩阵,并称方阵

为阶Jordan块.
注意 当都是一阶Jordan块时,即
,
有为对角阵,由此看出对角阵其实只是阵的特例.
性质 1 矩阵可对角化,当且仅当.
性质2 Jordan块的个数（相同的子块计重复出现的次数）是的.线性无关特征值向量的个数.
定理9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价.
定义9 称阶数字矩阵的特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子.
定理10 两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）.
定理11 复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
注意 其实,结合上定理,不难发现初等因子与阶Jordan块

存在一一对应关系.因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的标准型,即有如下定理：
定理12(Jordan标准型定理) 复数域上任何一个数字方阵都与一个Jordan型矩阵相似,这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被唯一确定的,称它为的Jordan标准型.
证明: 设n阶复矩阵的初等因子为

其中可能有相同的,指数也可能有相同的.每一个初等因子对应于一个Jordan块,
.
这些Jordan块构成一个Jordan型矩阵,

易知 的初等因子就是
.
.由于与有相同的初等因子,所以它们相似.
假设有另一个Jordan型矩阵与相似，那么与有相同的初等因子，因此，与除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证.证毕.
例题5
（1）在例2.2.1中求出的的初等因子的基础上,求出的Jordan标准型.
（2）求出例3.1.1的Jordan标准型.
解
（1）由于的初等因子为:

所以的Jordan标准型为

（2）由

知的Jordan标准型为
.
4 Jordan标准型的性质及应用
Jordan标准化的应用是广泛的,下面将利用其给出定理的证明,并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用.
4．1 Jordan标准型在证明定理中的应用
定理 （定理）设是复数域上任意阶方阵,的特征多项式为,则,其中为阶单位矩阵.
证明：存在秩为的阶复方阵,使,其中是的标准型,可以写成
,
其中代表1或0,因为是的特征值,故
.
从而

利用定理可以简化矩阵计算.
其实,该定理换成线性变换语言为：
定理14（关于线性变换的定理） 设为维复线性空间,为给定的线性变换,设为的特征值.

为的特征多项式.令表示将中的用代替,用代替之后所得到的常系数变换,即
,
则是零算子,即将中每一个向量都映为零向量：
.
注意 每个特征值都满足多项式方程,定理则是说满足方程.
4．2 Jordan标准型在矩阵分解中的应用
定理 15 复数域上任意阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的.
证明：设的Jordan标准型为

则存在,
使

令
,
与阶数相同.
令
,
则有
.
故

令
,
则

其中,对称且非退化,为对角阵,这是因为

.
定理 16 设是数域上的阶方阵,能分解成上一次因子之积,则,其中是幂零阵,相似于对角阵,且.
证明（证法一） 能分解成上一次因子之积,说明的Jordan标准型是一个阶方阵

令

是幂零Jordan块是对角阵.
设的阶为,.
则

其中
.
令

则
,
相似于对角阵,且

证毕.
证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵,
使得
,
其中

并且是主对角线元为的阶块.
令
,
易知是幂零矩阵,
因而

也是幂零矩阵.
在令
,
则相似于对角矩阵，并且

注意 定理16等价于如下命题：
设是数域上维线性空间的线性变换,则.其中是数域上维线性空间的线性变换且是幂零变换,也是数域上维线性空间的线性变换且可对角化,并且.
4．5 Jordan标准型在求解线性微分方程组中的应用
例题6 解线性微分方程组

解 把微分方程组写成矩阵形式，
其中

对微分方程组实行一个非奇异线性变换，
其中
.
于是得
.
故

其一般解为

再由求得原微分方程组的一般解为

其中是任意常数.
注意 解线性微分方程组可以用Jordan标准型来考察.设是将化为Jordan型的相似变换矩阵,若我们引进新变量,
令
,
则
,
亦即
.
方程组的矩阵经过了一次相似变换,它现在是的Jordan标准型.
从例题6中可以看到,在解决具体问题中不仅要求出Jordan标准型，而且需要求出变换矩阵,关于矩阵的求法可参看文献[6].

结 束 语
至此,我们透彻地解决了Jordan标准型与矩阵可对角化的问题,也看到了Jordan标准型在理解矩阵，多项式等方面的强大应用.但遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用到Jordan标准型——这限制了其在计算机方面的应用.这是因为一个矩阵的标准型未必是该矩阵的各元素的连续函数，这样，矩阵的各元的一个小的变化就会引起Jordan标准型的各元一个大的变化.这样就不能指望用稳定的方法计算Jordan标准型了.
尽管有这样的局限性，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示.这一更深刻的认识涉及到群表示理论.总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题,我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现.

参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）[M],北京,高等教育出版社,1998
[2] 钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）[M],北京,中央民族大学出版社,2002
[3]David C.Lay,Linear Algebra and Its Applications (Third Edition)[M],Beijing,Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2005
[4] 标准型矩阵的性质及其应用[J],德州学院学报（自然科学版）,第9卷 第4期 2003年8月 21-23
[5]Tom M.Apostol,Linear Algebra:a first course,with applications to differential equations[M],Beijing,Posts & Telecom Press,2010
[6] 王卿文,线性代数核心思想及应用[M],北京,科学出版社,2012

Jordan Canonical Form and Diagonalization of Matrix

Author: Xu Zhucheng Supervisor: Wan Jinlong

Abstract This paper basing on the properties of -matrix and diagonalization as the main line,deduces the most profound conclusion of Linear Algebra -- Jordan canonical form theorem. Then,it uses the Jordan canonical form theorem to solve the problems of the proof of H-Caylay Theory, the matrix decomposition, linear differential equations and so on.
Keywords diagonalization of matrix -matrix Smith canonical form Jordan canonical form Hamilton-Caylay Theory
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