一轮复习之圆方程.doc

圆
一、 基础知识
（一） 基本概念
1. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹(集合)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.
2. 曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数,即,且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在曲线上曲线的参数方程是,或参数方程的曲线是.记作曲线.
（二） 圆的方程
1． 标准方程 圆心为,半径为的圆方程为.
2． 一般方程
(1) 令,,,则可化为.
① 当时,方程不表示任何曲线.
② 当时,方程的曲线是一个点.
③ 当时,方程表示以为圆心,为半径的圆.此时,方程叫做圆的一般方程.
(2) 关于的二元二次方程的曲线是圆
3． 参数方程
(1) 令,由,可得,于是.
(2) 以为圆心,为半径的圆的参数方程是.
（三） 根据圆的方程研究圆的性质
1． 单个圆自身的性质
(1) 范围: 由,得,.
(2) 对称性
① 圆心是圆的中心.
② 过圆心的任意直线都是圆的对称轴.
2． 点与圆的位置关系
(1) 判定
① 点在圆上.
② 点在圆内.
③ 点在圆外.
(2) 性质
① 若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是.
② 若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是.
③ 若点在圆内,则(a)过和的弦最长;(b)垂直的弦最短.
④ 若点在圆外,过作直线交圆于两点,作直线与分别与圆相切于点和,则(a); (b); (c)直线的方程为.
3． 直线与圆的位置关系
(1) 判定
① 直线与圆相离.
② 直线与圆相切.
③ 直线与圆相交.
(2) 性质
① 若直线与圆相离,是上的点,是圆上的点,则.
② 若直线与圆相交于、两点,是的中点,则(a);(b);(c).
4． 圆与圆的位置关系
(1) 判定
① 圆与圆相外离.
② 圆与圆相外切.
③ 圆与圆相交.
④ 圆与圆内切.
⑤ 圆与圆内含.
(2) 性质
若圆与圆相交于、两点,则①;②直线的方程为;③经过、两点的任意圆(除圆)的方程都可表示为. [共弦圆系]
（四） 基本方法
(1) 将参数方程化为普通方程
① 求函数值域和函数的值域;
② 从中消去参数得普通方程.
(2) 求圆的方程
① 待定系数法 ②定义法
(3) 直线与圆相交
① 先设出交点的坐标、和的中点,
② 用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,
③ 用垂径定理()来解决有关的问题.特别地有弦长公式.

二、 基本例题
例1 (1)圆的圆心为,半径 .
(2)圆的圆心为,半径 .
(3)圆的圆心为,半径 .
(4)曲线的普通方程为 .
(5)曲线的普通方程为 .
(6)曲线 的普通方程为 .
(7)曲线的普通方程为 .
(8)曲线的普通方程为 .
(9)曲线的普通方程为 .
(10)曲线 的普通方程为 .
(11)曲线 的普通方程为 .
(12)曲线 的普通方程为 .
(13)曲线 的普通方程为 .
(14)曲线 的普通方程为 .
(15)曲线 的普通方程为 .

例2 求圆的方程：
（1） 截轴所得弦长为,被轴分成两段圆弧长的比为,且圆心到直线的距离最小的圆的方程为 .
（2） 若过点和,且与轴相切的圆有且仅有一个,则 ,此时圆的方程为 .
（3） 与轴相切,圆心在直线上,且被直线所截得的弦长为的圆的方程为 .
（4） 过点,半径为,且在该圆内以为中点的弦长为的圆的方程为 .
（5） 经过两圆和的交点,且圆心在直线 上的圆的方程为 .
（6） 圆心为,且与圆 的公共弦所在的直线过点的圆的方程为 .
（7） 与圆关于直线对称的圆的方程为 .

（8） 圆心为,且与直线相切的圆的方程为 .
（9） 过三点的圆的方程为 .
（10） 经过两点和,且圆心在轴上的圆的方程为 .
（11） 经过两点和,且圆心在直线 上的圆的方程为 .
（12） 过点,且与直线 相切于点的圆的方程为 .
（13） 圆心为,被直线所截得的弦长为的圆的方程为 .
（14） 与轴相切于点,且在轴上截得的弦长为的圆的方程为 .
（15） 过点,圆心在直线上,且与直线相切的圆的方程为 .
（16） 过原点,且与直线及圆 都相切的圆的方程为 .
（17） 与圆关于点对称的圆的方程为 .
（18） 与圆关于直线对称的圆的方程为 .
（19） 若三角形的顶点为,则其外接圆的方程为 ,内切圆的方程为 .
（20） 若三角形三边所在直线方程为,则其外接圆的方程为 .
例3 求轨迹方程
（1） 已知直线与圆相离，点在直线上，过点作圆的切线，两切点分别为和，证明：不论点在直线上怎样移动，直线总过一定点。

（2） 圆 的圆心的轨迹方程是 .
（3） 与圆相外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 .
（4） 若, 是圆上的两个动点, ,则中点的轨迹方程是 .
（5） 过点作圆的切线,若 ,则点的轨迹方程为 .

（6） 若直线与圆相交,则点在圆 .(外、上、内)。
（7） 若点在圆内且不为圆心,则直线与圆相 .
（8） 若实数满足,则① ;② ;③ .
（9） 过点作圆的切线(为切点)，则①切线长 ,弦长 , ;②切线、的方程为 ;③弦所在直线的方程为 .
（10） 若圆上恰有三点到直线 的距离等于,则 .
（11） 若直线与曲线 有两个不同的交点,则 .
（12） 若直线与曲线交于两点,的倾角分别为,则 .
（13） 从点发出的光线经轴反射,若反射光线所在的直线与圆相切, 则光线所在的直线的方程为 .
（14） 若斜率为的直线与圆交于两点,且以 为直径的圆过原点,则直线的方程为 .
（15） 若直线与圆 交于两点,且,则 .
（16） 若直线与圆 交于两点,且 ,则 .
（17） 圆 的圆心的轨迹方程是 .
（18） 圆 的圆心的轨迹方程是 .

例4 (1)过点 与圆 相切的直线的方程为 .
(2)过点 与圆 相切的直线的方程为 .
(3)过点 与圆 相切的直线的方程为 .
(4)过点 与圆 相切的直线的方程为 .
(5)过点 作圆 的切线 ( 为切点),则
①切线长 ,弦长 , ;
②切线 、 的方程为 ;
③弦 所在直线的方程为 .
(6)过点 ,且被圆 截得的弦长为8的直线的方程为 .
(7)过点 ,被圆 截得的弦最短的直线的方程为 .
(8)过点 ,被圆 截得的弦最长的直线的方程为 .
(9)圆 被点 平分的弦所在的直线方程为 .

例5 (1)点 在圆 .(外、上、内)
(2)若直线与圆相交,则点在圆 .(外、上、内)
(3)直线与圆 相 .
(4)直线 与圆相 .
(5)若点 在圆 内且不过圆心,则直线 与圆 相 .
(6)圆 与圆相 .
(7)若 ,则在圆 与圆 相 .
(8)若方程 的曲线是圆,则 .
(9)若点 在圆 内,则 .
(10)若过点 总可以向圆作两条切线,则 .
(11)若直线 与圆 相切,则 .
(12)若圆 上仅有一点到直线 的距离等于 ,则 .
(13)若圆 上仅有两点到直线的距离等于 ,则 .
(14)若圆 上恰有三点到直线 的距离等于 ,则 .
(15)若圆 上恰有四点到直线的距离等于 ,则 .
(16)若圆 与两坐标轴都相切,则 .
(17)若圆 过原点,且与 轴相切,则 .
(18)若圆 与 轴相切于原点,则 .
(19)若过圆 外一点 作圆的两条切线互相垂直,则 .
(20)两圆的交点为 和 ,且圆心都在直线 上,则 .
(21)若圆 关于直线 对称的圆与直线 相切,
则 .
(22)一束光线从点 经 轴反射到圆 上的最短路程等于 .
(23)若直线与曲线交于两点,的倾角分别为,则 .
(24)若圆的方程为 ,则坐标平面上被这些圆上的点所覆盖的平面部分的面积为 .

例6 (1)过直线 上一点作圆 的切线,则切线长的最小值为 .
(2)圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ,最大值为 .
(3)当 时,圆 的面积取得最大值 .
(4)若实数 满足 ,则① ;② ;③ .
(4)若实数满足,则① ;② ;③ .
(5)若 , 为圆 上的点,则 .
(6)若 的边长分别为 ,点 是它内切圆上的一点,则 .
(7)若直线 与曲线 恰有一个公共点,则 .
(8)若直线 与曲线 有两个公共点,则 .
(9)若直线 与曲 有两个不同的交点,则 .
(10)若方程 有实数解,则 .
(11)若方程 有唯一实数解,则 .
(12)若实数 满足 ,且不等式 恒成立,则 .
(13)若圆 的圆心在 轴上,且与 轴交于 两点, 又圆 与圆 相外切, 则 .

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