积化和差与和差化积公式(教师版).doc

(完整word)积化和差与和差化积公式(教师版)积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、 基本公式复习1、两角和与差公式及规律 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 生动的口诀：(和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余,余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用. 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sin +sin =2sin（+）/2cos(）/2的证明过程 因为 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin（-)=sin cos -cos sin ， 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin（+）+sin(-）=2sin cos ， 设 +=，= 那么 =(+）/2, =（）/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin（+)/2cos(-)/2 cos（)cos（+） =（coscos+sinsin）（coscossinsin） =2sinsin sinsin=-1/22sinsin =-1/2(coscos-sinsin)（coscos+sinsin) =1/2cos（+)cos（） 其他的3个式子也是相同的证明方法.4、万能公式 证： 注意：1、上述三个公式统称为万能公式。2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。二、 应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式。2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍，根据条件灵活选用。3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提。3、整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中是任意角。三、例题讲解例1 已知,均为锐角, sin=，求+的值。解析：由已知条件有cos=，且0+. 又cos（+）=coscos-sinsin 例2已知（） 求（） 若求的值解当时,当时，故当n为偶数时，当n为奇数时，例3已知（） 求的值;（） 当时，求的值解（）方法从而，方法设（）由已知可得 例4已知求的值。 解 例5已知求的值。 解 将两条件式分别平方，得 将上面两式相加，得 例6 的值等于 ( ）A B C D 解故选B.例7 已知cos()= 都是锐角，求cos（+）的值。解析：由已知条件有因为0sin2=，所以02,所以0.又因为0，所以0。由、得。又因为cos（-)=，所以。=.从而cos(+）=cos2-() =cos2cos(-）+sin2sin（-) 评析:本例通过0sin2= ，发现了隐含条件：0，将-的范围缩小为，进而由cos(）= ，将的范围确定为,从而避免了增解。例8 已知，且tan,tna是一元二次方程的两个根，求+的值。解析：由已知条件得tan+tan= ，tantan=40， 所以tan0,tan0。又因为 ，所以所以+0。又因为tan（+)= =所以+= 。评析：本例根据韦达定理tan+tan= ,tantan=4，挖掘出了隐含条件tan0,tan0，知，,得出了+的确切范围，从而顺利求解。例9 已知，求；解：=；例10 已知,的值解:，又因为（）及，所以，即，所以注：“已知”与 “未知”的联系是“ =”，从而目标是求出的值例11 已知且是第二象限的角，求解：是第二象限的角， ，即，=注：“未知”与“已知和“已知”的联系显然是“”例12 已知解：又所以可知是第一象限的角，是第三象限的角， 注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例13 已知求（)（）解：解法一：得：；得：，即，所以解法二:把已知和差化积得：得:即得：注：求利用方法一简单，求利用方法二简单一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差【 课堂练习1】 1cos105的值为 ( ） A B C D 2对于任何、(0，)，sin（+）与sin+sin的大小关系是 （ ) Asin（+)sin+sin Bsin（+)sin+sin Csin（+)=sin+sin D要以、的具体值而定3已知，sin2=a，则sin+cos等于 （ ） A B C D4已知tan=，tan=，则cot（+2）= 5已知tanx=，则cos2x= 【 课堂练习2】 求下列各式的值 1cos200cos80+cos110cos10= 2(cos15+sin15）= 3化简1+2cos2cos2= 4cos(20+x)cos(25x)cos(70x)sin(25x)= 5 = 【课后反馈1】 1已知0,sin=，cos(+）=，则sin等于 （ ） A0 B0或 C D0或2 的值等于 ( ) A2+ B C2 D 3 ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为 （ ） A B C 或 D 或4若是锐角，且sin（)= ,则cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=，tan=，且、都是锐角求证：+=45 7已知cos()=,cos（+)= ，且（）（，)，+（，2），求cos2、cos2的值 8 已知sin（+）= ，且sin(+)= ,求 【课后反馈2】 1cos75+cos15的值等于 （ ） A B C D 2a=（sin17+cos17),b=2cos2131，c= ，则 ( ） Acab B bca C abc D bac 3化简= 4化简sin(2+)2sincos(+)= 5 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为 6 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B） 7 化简sin50（1+tan10） 8 已知sin（+）=1,求证：sin（2+）+sin（2+3）=0 参考答案：【 课堂练习1】 1 C 2 B 3 B 4 5【 课堂练习2】 1 2 3 2 4 5tan2【课后反馈1】 1 C 2 C 3 A 4 5 6略 7 cos2=，cos2=1 8 【课后反馈2】 1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 6 sin2（AB）7. 1 8 。略 例14 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。 解： cos q 0 (否则 2 = - 5 ） 解之得：tan q = 2 原式【 课堂练习1】1. 已知sinx =，且x是锐角，求的值。2. 下列函数何时取得最值？最值是多少? 【课后反馈1】1. 求函数在上的最小值.参考答案:【 课堂练习1】1、2、 、【课后反馈1】1