三角函数化简求值专题复习.doc

word完整版)三角函数化简求值专题复习
三角函数化简求值专题复习
高考要求
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
热点分析
1。近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看,大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题　　
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因）,实现转化。解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
【例1】求值：.
解：原式的分子

，
原式的分母＝

所以，原式＝１．
【变式】1、求值
解：
【变式】2、求.
分析:原式=

【例2】(三兄弟）已知,求的值
解：原式==
∵,上式两边平方，得:
∴;又∵
∴
∴
∴，∴原式
【变式】(05天津）已知，求及．
【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
,即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ②
由①和②式得,
因此，，由两角和的正切公式

【例3】(最值辅助角）已知函数f(x）=2asin2x－2asinxcosx+a+b－1，(a、b为常数，a〈0），它的定义域为[0，]，值域为[－3,1］，试求a、b的值。
解:f（x）=2asin2x－2asinxcosx+a+b－1
=a(1－cos2x)－asin2x+a+b－1
=－2asin
∵0≤x≤ ∴≤2x+≤ ∴
∵a<0 ∴a≤－2asin－2a
∴3a+b－1≤－2asin+2a+b－1≤b－1
∵值域为[－3,1] ∴ ∴
【变式】已知00<α〈β<900,且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin（β-5α）的值。
解:由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα+sinβ=cos400
∴
∵ 00<α〈β〈 900 ∴ ∴ sin(β-5α)=sin600=
【例4】（最值二次型)已知 的最值。
解：∵ ∴-, ∴
∵ ∴
即
∴
y=
当sina∈［,1]时函数y递增，∴当sina=时 ymin=；
当sina∈(,0)时，函数y递减，∴当sina=0时，ymin=
∴ 故当无最大值
【变式】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－（2a+1）的最小值为f(a)，试确定满足f（a）=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
解:由y=2(cosx－）2－及cosx∈［－1，1］得：
f（a）
∵f（a）=,∴1－4a=a=［2，+∞
故－－2a－1=，解得：a=－1，此时,
y=2(cosx+）2+，当cosx=1时,即x=2kπ，k∈Z，ymax=5。
【例5】（角的变换）已知＜β＜α＜,cos（α－β)=，sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.
解：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜。π＜α+β＜,
∴sin（α－β)=
∴sin2α=sin［（α－β）+(α+β)］
=sin(α－β)cos（α+β）+cos（α－β）sin（α+β)

【变式】（1）已知8cos(2α+β）+5cosβ=0，求tan（α+β)·tanα的值；
(2）已知,求的值。
解:(1）从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α,β=（α+β）-α
∴ 8cos[(α+β）+α］+5cos[(α+β）—α］=0
展开得：13cos（α+β）cosα—3sin(α+β）sinα=0
同除以cos(α+β)cosα得：tan（α+β)tanα=
（1） 以三角函数结构特点出发
∵ ∴ ∴ tanθ=2
∴
【例6】已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f(x)在上是增函数，当时，是否存在这样的实数m,使对所有的均成立？若存在,求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由。
解：为奇函数,

又在上是增函数,且是奇函数 是R上的增函数，
，令
满足条件的应该使不等式对任意均成立。
设,由条件得
或 或 解得，或
即存在，取值范围是
【变式】已知函数其中为参数,且
（1）当时，判断函数是否有极值;
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3)若对（2）中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时则在内是增函数，故无极值。
（2）令得
由及（I),只需考虑的情况。
当变化时,的符号及的变化情况如下表：

0

＋
0
－
0
＋

递增
极大值
递减
极小值
递增

因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以
（3)由（2）知，函数在区间与内都是增函数.
由题设,函数在内是增函数，则须满足不等式组
　　　或
由（II)，参数时，要使不等式关于参数恒成立,必有综上，解得或所以的取值范围是
练习：
一、选择题
1。已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1）的两根均tanα、tanβ，且α,β∈(－），则tan的值是( )
A。 B。－2 C. D. 或－2
二、填空题
2.已知，,，则_________.
3。设∈（)，∈(0，）,cos(－）=，sin(+）=,则sin（+）=_________。
三、解答题
4.不查表求值：
5.已知cos（+x）=,（＜x＜）,求的值.
6.已知－=π，且≠kπ(k∈Z）.求的最大值及最大值时的条件.

7、已知cos+sin=,sin+cos的取值范围是D，x∈D，求函数y=的最小值,并求取得最小值时x
的值。
参考答案
一、1。解析：∵a＞1,tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0，又α、β∈（－,）∴α、β∈(－,θ),则∈（－,0），又tan（α+β)=，
整理得2tan2=0。解得tan=－2。 答案：B
2.解析：∵sinα=，α∈(,π），∴cosα=－
则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－，
答案:
3.解析：α∈(），α－∈（0， )，又cos（α－)=。

三、4。答案：2

（k∈Z）， （k∈Z）
∴当即（k∈Z）时，的最小值为－1。
7。解:设u=sinα+cosβ.则u2+（）2=（sinα+cosβ）2+(cosα+sinβ)2=2+2sin（α+β)≤4。∴u2≤1，－1≤u≤1。即D=[－1,1］，设t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.

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