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5考研专题解析
第十一章 曲线积分与曲面积分
常考题型及其解题方法与技巧
(1)求曲线积分与格林公式、斯托克斯公式
(2） 求曲面积分与高斯公式
(3)计算向量场的散度或旋度
专题一、求曲线积分与格林公式、斯托克斯公式
(一) 第一类曲线积分
思路提示 化第一类曲线积分为定积分.
1。(98年数一)设为椭圆其周长为,则179
解析 关于轴（轴)对称,关于（关于)为奇函数。又在上
.
因此，原式=。
2.（09年数一）已知曲线，则180
解析 直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得
.
(二) 平面上第二类曲线积分
思路
2、提示 化第二类曲线积分为定积分或用格林公式化为二重积分。
1。(00年数一） 计算曲线积分其中是以点为中心,为半径的圆周()，取逆时针方向。181
解析 记，则直接计算较繁琐,想借助格林公式。当时,,
记围成的圆域为，因内含原点而在无意义，所以不能直接在上用格林公式.
现作一小椭圆（取逆时针方向)：，充分小,使位于内，记与围成区域，在上用格林公式得
,
即.
2。(04年数一） 设为正向圆周在一象限中的部分,则曲线积分的值为_______182
解析 已知的参数方程，从0到。直接代公式得
,
。
3.（08年数一）计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.183
解
3、析 将曲线的方程代入直接计算
.
（三）空间第二类曲线积分
思路提示 化第二类曲线积分为定积分或用斯托克斯公式化为二重积分.
1.（97年数一）计算积分，其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的.184
解析 用斯托克斯公式来计算。记为平面上所围成有限部分,由的定向，按右手法则取下侧。
，
在平面上的投影区域.
将第二类曲面积分化为二重积分得。
这里取下侧,故公式取负号.
2。(01年数一）计算,其中为平面与柱面的交线,从轴正向看去，为逆时针方向。185
解析 用斯托克斯公式来计算，记为平面上所围部分.由的定向,按右手法则取上侧,因为，的单位法向
4、量，于是由斯托克斯公式得
。
将第一类曲面积分化为二重积分得
,
其中为在平面上的投影区域。由关于轴的对称性及被积函数的奇偶性得，
所以。
专题二、求曲面积分与高斯公式
（一）第一类曲面积分
思路提示 计算第一类曲面积分的关键是确定曲面在相应的坐标面上的投影区域，然后代公式计算二重积分。
1。（95年数一） 计算曲面积分，其中为锥面在柱体内的部分.179
解析 将曲面积分化为二重积分
首先确定被积函数
，
对锥面而言,
,
其次确定积分区域即在平面的投影区域
作极坐标变换，则
.
。
2。（07年数一)设曲面，则187
解析 关于平面对称
5、对为奇函数，
由变量的轮换对称性,
记在第一卦限部分的面积为，
因此.
(二）第二类曲面积分
思路提示 把第二类曲面积分化为二重积分时,要注意由曲面的定向确定公式得正负号，另外要确定投影区域.
1。(05年数一） 设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则192
解析 在上用高斯公式得
作球坐标变换：，
,
所以。
2。（06年数一） 设是锥面的下侧，则192
解析 添加辅助面，法向量朝上，
，
与围成区域，用高斯公式得
,
原式。
3.(08年数一）设曲面是的上侧，则193
解析 直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分,曲面的方程是
，其中，
，
所以
。
专题三、计算向量场的散度或旋度
思路提示 利用散度或旋度的定义计算向量场的散度或旋度.
1。（01年数一）设 则 195
解析 先求，
再求。
.
所以.
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