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2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第9节 函数与方程教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第9节 函数与方程教案 理 新人教版

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　函数与方程
[考试要求]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．

1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
提醒：函数的零点不是函数y＝f (x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋(a＞0)的图象

与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
4.二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

有关函数零点的三个结论
(1)若y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)一定有零点．
(2)f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)·f (b)<0⇒函数f (x)在区间[a，b]上只有一个零点．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　)
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0. (　　)
(3)若函数f (x)在(a，b)上单调且f (a)·f (b)＜0，则函数f (x)在[a，b]上有且只有一个零点． (　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点． (　　)
(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、教材习题衍生
1．已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f (x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B　[∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，故函数f (x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]
2．函数f (x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
C　[由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，
f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，
f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，
f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，
∴f (x)的零点所在的区间为(2,3)．]
3．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是________．
1　[∵函数f (x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f (－1)＝－3＜0，f (0)＝1＞0，
∴f (－1)·f (0)＜0，因此函数f (x)有唯一零点．]
4．若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，4)　[由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4.]

考点一　判定函数零点所在区间
　判断函数零点所在区间的方法

1．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)上均有零点
B．在区间，(1，e)上均无零点
C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点
D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点
D　[当x∈时，函数图象是连续的，且f ′(x)＝－＝＜0，所以f (x)在区间上单调递减，又f ＝＋1＞0，
f (1)＝＞0，f (e)＝－1＜0，所以函数f (x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D．]
2．若x0是方程＝x的解，则x0属于区间(　　)
A． B． C． D．
C　[令f (x)＝－x，则x0是函数f (x)的零点，函数f (x)在R上图象是连续的，
且f (0)＝1＞0，f ＝－＞0，
f ＝－＜0，∴f ·f ＜0，
因此x0∈，故选C．]
3．若a＜b＜c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A　[∵a＜b＜c，∴f (a)＝(a－b)(a－c)＞0，f (b)＝(b－c)(b－a)＜0，f (c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；
又函数f (x)是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A．]
4．(2020·天津模拟)设函数f (x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln x－，若f (x1)＝g(x2)＝0，则(　　)
A．0＜g(x1)＜f (x2) B．g(x1)＜0＜f (x2)
C．f (x2)＜0＜g(x1) D．f (x2)＜g(x1)＜0
B　[函数f (x)是R上的增函数，g(x)是(0，＋∞)上的增函数，∵f (0)＝e－1－4＜0，f (1)＝5－4＝1＞0，又f (x1)＝0，
∴0＜x1＜1，
∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2－＞0，又g(x2)＝0，
∴1＜x2＜2，
∴f (x2)＞f (1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，
∴g(x1)＜0＜f (x2)，故选B．]
点评：由f (a)·f (b)＞0，并不能说明函数f (x)在区间(a，b)上没有零点，若f (x)在(a，b)上是单调函数，则f (x)在(a，b)上无零点．
考点二　确定函数零点的个数
　确定函数零点个数的方法

[典例1]　(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(3)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)B　(2)D　(3)C　[(1)由f (x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B．
(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f (x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f (x)有3个零点．故选D．

(3)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．

当x＞0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x)有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述，f (x)的零点个数为3.]
点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．

1．函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B　[令f (x)＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝.
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x)有2个零点．故选B．]
2．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且当x∈[0,1]时，f (x)＝x，则函数y＝f (x)－log3|x|的零点的个数是(　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
C　[画出函数y＝f (x)和y＝log3|x|的部分图象如图所示．由图知，函数y＝f (x)－log3|x|的零点的个数为4.
]
考点三　求与零点有关的参数问题

已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法

　根据函数零点的个数求参数的取值范围
[典例2－1]　(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C　[函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．]
点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
　根据函数有零点求参数的取值范围
[典例2－2]　(1)函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C． D．
(2)已知函数f (x)＝则函数F(x)＝f (x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪1，＋∞) B．[－1,2)
C．[－1,0)∪(1,2] D．[0,1]
(1)D　(2)A　[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
(2)由F(x)＝0，得f (x)＝a2－a－1.∵函数f (x)的值域为(－1，＋∞)，
∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故选A．]
点评：函数f (x)有零点⇔f (x)＝0有解，此时可分离参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．

1．已知函数f (x)＝(a∈R)，若函数f (x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，1]
C．[－1,0) D．(0,1]
D　[当x＞0时，由2x－1＝0得x＝，即x＝是函数f (x)的一个零点，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解．即a＝2x在(－∞，0]上有一个解，又当x∈(－∞，0]时0＜2x≤1，则0＜a≤1，故选D．]
2．若函数f (x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
　[∵函数f (x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
令y＝4x－2x＝－.

∵x∈[－1,1]，∴2x∈，
∴－∈.
∴实数a的取值范围是.]
核心素养3　用数学眼光观察世界——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

嵌套函数零点个数的判断

　已知函数f (x)＝则函数F(x)＝f (f (x))－2f (x)－的零点个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
A　[令f (x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f (t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f (t)－2t－＝0的根的问题．
令y＝f (t)－2t－＝0，则f (t)＝2t＋.
分别作出y＝f (t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；
由图②，结合图象，当f (x)＝0时，有一解，即x＝2；
当f (x)＝t2时，结合图象，有3个解．
所以y＝f [f (x)]－2f (x)－共有4个零点．

图①　　　　　　　　图②]
[评析]　1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f (t)的零点．(2)依次解方程，令f (t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．

已知f (x)＝则函数y＝2[f (x)]2－3f (x)＋1的零点个数是________．
5　[由2[f (x)]2－3f (x)＋1＝0，得f (x)＝或f (x)＝1，

作出函数y＝f (x)的图象如图所示．
由图象知y＝与y＝f (x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f (x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2[f (x)]2－3f (x)＋1的零点有5个．]

已知嵌套函数的零点个数求参数

　函数f x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞)　[设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．

设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．]
[评析]　(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f (x)的图象确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．

设定义域为R的函数f (x)＝若关于x的方程2f 2(x)＋2bf (x)＋1＝0有8个不同的实数根，则b的取值范围是________．
－1.5＜b＜－　[根据题意作出f (x)的简图：

由图象可得当f (x)∈(0,1)时，有四个不同的x与f (x)对应．再结合题中“方程2f 2(x)＋2bf (x)＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K2＋2bK＋1＝0有两个不同的实数根K1，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．
列式如下：即
可得－1.5＜b＜－.]