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2022届高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 抛物线教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 抛物线教案 北师大版

年级：
姓名：

　抛物线
[考试要求]　
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

1．设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
(1)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(2)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(3)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
2．过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材习题衍生
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B.
C. D.0
B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，
∴y＝.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]

考点一　抛物线的定义及其应用

　抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[典例1]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
(1)C　(2)4　[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以2＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.]
[母题变迁]
1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋PF|的最小值．
[解]　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|
＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[解]　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
点评：与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为(　　)
A． B．
C．1 D．3
B　[∵F是抛物线y2＝x的焦点，
∴F，准线方程x＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3.
解得x1＋x2＝，∴线段AB的中点横坐标为，
∴线段AB的中点到准线的距离为＋＝.故选B.]
2．已知动圆P与定圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝4x　　　　　 B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
C　[令P点坐标为(x，y)，A(2,0)，动圆的半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|＝1＋r，d＝r，
P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d＝x＋1，
所以|PA|－d＝1，即－(x＋1)＝1，
化简得y2＝8x.故选C.]
考点二　抛物线的标准方程及其性质
　(1)求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
(2)抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[典例2]　(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B.
C．(1,0) D．(2,0)
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
(1)B　(2)B　[(1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.故选B.
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，
∴＝，即＝，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.]
点评：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

1．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
4　[法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.]
2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
x2＝4y　[由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以
解得因此抛物线方程为x2＝4y.]
考点三　直线与抛物线的位置关系
　求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．
[典例3]　(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若＝3，求|AB|.
(1)3　[结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．]
(2)[解]　设直线l：y＝x＋t，A，B.
①由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由题设可得x1＋x2＝.
由 ，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而由－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
②由＝3得y1＝－3y2.
由得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
点评：解答本例(2)第②问的关键是从条件“＝3”中发现变量间的关系“y1＝－3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．

(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由 y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
备考技法5　活用抛物线焦点弦的四个结论
　　抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4 B.
C．5 D．6
B　[法一：(通性通法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
法二：(巧用结论)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法三：因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.]
[评析]　本例给出了三种解法，既有通性通法又有秒杀绝技，学习中要多总结，提升自己灵活解题的素养．

如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5 B．6
C. D.
C　[法一：(通性通法)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
法二：(巧用结论)如上解得p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，p＝2，
所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法三：因为＋＝，|AF|＝4，p＝2，
所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.]
　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
D　[法一：(通性通法)由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二：(巧用结论)由2p＝3，及|AB|＝，
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.]
[评析]　巧用结论解题避免了通性通法的繁杂计算．解题中务必熟记结论，灵活应用求解．
结论：S△AOB＝，其中α为焦点弦AB的倾斜角．

(2020·成都模拟)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A. B.
C．2 D．3
B　[法一：(通性通法)由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知PM＝PF＝4，
设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x可得y＝±2，所以△POF的面积为|y||OF|＝×2×1＝.故选B.
法二：(巧用结论)设∠PFx＝θ，则|PF|＝＝＝4，∴cos θ＝，即θ＝60°.
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×＝2.
∴S△POF＝×|OF|×|y|＝×1×2＝.故选B.]