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2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性教案 北师大版

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　函数的奇偶性与周期性
[考试要求]　
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．

1．函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图像特征
关于y轴对称
关于原点对称
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1.
②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1.
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．

1．函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
3．函数的图像的对称性
(1)函数y＝f(x)，若其图像关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图像关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图像关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图像关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　　)
3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．(　　)
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材习题衍生
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x3　　　　　　　 B．y＝x2
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
f(－1)＝________.
－2　[f(1)＝1×2＝2，
又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
1　[f＝f＝－4×2＋2＝1.]
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
(－2,0)∪(2,5]　[由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，
又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]

考点一　函数奇偶性的判断
　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：

(2)图像法：

(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[典例1]　(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝；
③f(x)＝
(1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)，
则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)
＝－F1(x)，
∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．
令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)
＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．
令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．
令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]
(2)[解]　①由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
点评：(1)本例T(2)第②小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键．
(2)y＝ln，y＝lg(＋x)都是奇函数．

1．下列函数既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x|x|
D　[对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函数，排除A.
对于B，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇非偶函数，排除B.
对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，排除C.
对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝x|x|＝，则函数为增函数，故选D.]
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
D　[∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]
考点二　函数奇偶性的应用
　已知函数奇偶性可以解决的三个问题

　利用函数的奇偶性求值
[典例2－1]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
(1)－3　(2)－2　[(1)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f ＝－(－ealn)＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
(2)∵f(a)＋f(－a)＝ln(－a)＋1＋ln(＋a)＋1
＝ln(1＋a2－a2)＋2＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.]
点评：本例T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)＋f(－x)的值，再求所求．
　求函数解析式
[典例2－2]　(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
D　[当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.]
点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．
　利用奇偶性求参数的值
[典例2－3]　若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
±1　[法一：(定义法)因为函数f(x)＝在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，
化简得k2－1)(22x＋1)＝0，
即k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝±1时，函数f(x)为奇函数．
法二：(特值法)因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，
即＝.整理得k2＝1，解得k＝±1.经检验，当k＝±1时，函数f(x)为奇函数．]
点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．

1．函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，则f(log2 )等于
(　　)
A． B．－9
C．－8 D．－
C　[由f(0)＝40＋t＝0得t＝－1.
则f(log2 )＝f(－log2 3)＝－f(log2 3)＝－(4log2 3－1)＝－2log2 9＋1＝－8.故选C.]
2．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.
0　[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．
又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]
3．函数f(x)＝＋log2为奇函数，则实数a＝________.

1　[∵函数f(x)＝＋log2为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.
即－＋log2＋＋log2＝0，
即log2＝0.
∴·＝＝1，则1－a2x2＝1－x2，∴a2＝1，即a＝±1.
当a＝－1时，f(x)＝＋log2，
则f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，
此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；
当a＝1时，f(x)＝＋log2，定义域为{x|－1＜x＜1且x≠0}，满足题意，∴a＝1.]
考点三　函数的周期性、图像的对称性及应用
　1.函数周期性的判断与应用
(1)判断：判断函数的周期只需证明fx＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
(2)应用：函数的周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，利用周期性可把自变量变大或变小．
2．函数图像的对称性的判断与应用
(1)判断：函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝(a＋b)对称．
(2)应用：转化自变量的值或与函数的奇偶性配合得到函数的周期性．
[典例3]　(1)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4－x)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x＋2－x，则f(5)＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
(1)D　(2)1 011　[(1)法一：(利用对称性)：由f(4－x)＝f(x)得函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则f(5)＝f(－1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－7，故选D.
法二：(利用等式转化)：由f(4－x)＝f(x)得f(5)＝f[4－(－1)]＝f(－1)＝－f(1)＝－(23－1)＝－7.故选D.
(2)由f(x)＝－f(x＋1)得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1.
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 020)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝1 011.]
点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期．

1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 021)＋f(2 019)的值为　　)
A．0 B．－4
C．－2 D．2
A　[当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1)＝log2 2＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2 021)＋f(2 019)＝0.故选A.]
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝(　　)
A．2 021 B．0
C．1 D．－1
C　[由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数．
所以f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1，故选C.]