2022版高考数学一轮复习-课时规范练24-平面向量的概念及线性运算新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练24 平面向量的概念及线性运算新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练24 平面向量的概念及线性运算新人教A版

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姓名：

课时规范练24　平面向量的概念及线性运算
基础巩固组
1.(多选)已知下列各式,其中结果为零向量的为(　　)
A.AB+BC+CA
B.AB+MB+BO+OM
C.OA+OB+BO+CO
D.AB-AC+BD-CD
2.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模拟)以下说法正确的是(　　)
A.零向量与任一非零向量平行
B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
3.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=-6e1+2e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c的关系为(　　)

A.不共线 B.共线
C.相等 D.无法确定
4.已知点G为△ABC的重心,若AB=a,AC=b,则BG=(　　)
A.23a+13b B.-23a+13b
C.23a-13b D.-23a-13b
5.(2020四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则必有(　　)
A.▱ABCD为菱形 B.▱ABCD为矩形
C.▱ABCD为正方形 D.▱ABCD为梯形
6.设a,b是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.下列说法中,正确的个数有(　　)
①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.已知向量e1与e2不共线,且向量AB=e1+me2,AC=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是(　　)
A.mn=1 B.mn=-1
C.m+n=1 D.m+n=-1
9.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,则△ABC的面积等于(　　)
A.3 B.23
C.33 D.43
10.(多选)设M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若AM=12AB+12AC,则M是边BC的中点
B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上
C.若AM=-BM-CM,则M是△ABC的重心
D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的12
11.(2020山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+14λb与-a+b平行.则实数λ=　　　. 
12.(2020浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形ABCD中,设AB=a,AD=b,DC=2AB,M为BC的中点,则AM=　　　　(用a和b表示);当x=　　　时,|b-xa|最小. 
综合提升组
13.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是(　　)
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6
C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且同向
D.若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb
14.(2020山东潍坊一中高三模拟)已知非零向量a,b满足|a|=7+1,|b|=7-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　　　. 
15.(2020河南名校联盟“尖子生”调研)A,B,C是平面上不共线的三点,O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足OP=13[(2-2λ)OD+(1+2λ)OC](λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的　　　　(内心、外心、垂心或重心). 
创新应用组
16.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在△ABC中,有如下结论:若M为△ABC的重心,则MA+MB+MC=0.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,M为△ABC的重心.若aMA+bMB+33cMC=0,则内角A的大小为　　　　;当a=3时,△ABC的面积为　　　　. 
17.

(2020山东烟台栖霞一中段考)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量AP=mAB+nAF(m,n为实数),则m+n的最大值为　　　　. 

参考答案

课时规范练24　平面向量的
概念及线性运算
1.AD　AB+BC+CA=AC+CA=0,故A正确;AB+MB+BO+OM=AB,故B不正确;OA+OB+BO+CO=CA,故C不正确;AB-AC+BD-CD=AD-AD=0,故D正确.故选AD.
2.ABD　对于A,根据零向量的性质,可知A正确;
对于B,由零向量的模是0,单位向量的模是1,可知B正确;
对于C,平行向量的方向相同或相反,故C不正确;
对于D,由平行向量的性质可知,平行向量就是共线向量,故D正确.故选ABD.
3.B　∵a+b=3e1-e2,∴c=-2(a+b),
∴a+b与c共线.故选B.
4.B　设D是AC中点,则BD=12(BA+BC),又G为△ABC的重心,∴BG=23BD=23×12(BA+BC)=13(BA+BC)=13(-AB+AC-AB)=-23AB+13AC=-23a+13b.故选B.
5.B　∵BC+BA=BD,BC+AB=AC,又|BC+BA|=|BC+AB|,∴|BD|=|AC|,∴BD=AC,∴▱ABCD为矩形.故选B.
6.A　当a=2b时,|a+b|=3|b|,|a|+|b|=3|b|,此时|a+b|≥|a|+|b|成立.
当|a+b|≥|a|+|b|时,如a=b也满足条件,此时a=2b不成立.
故“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的充分不必要条件.故选A.
7.A　单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误;模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故②错误;向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故④错误;当b=0时,a∥b,b∥c,则a与c不一定平行.综上,正确的说法个数有0个,故选A.
8.A　因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB=λAC,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得1=nλ,m=λ,所以mn=1.故选A.
9.B　由|PB|=|PC|得,△PBC是等腰三角形.取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC.又AB+PB+PC=0,所以AB=-(PB+PC)=-2PD,所以PD=12AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形.由|PB|=2,|PD|=1可得|BD|=3,则|BC|=23,所以△ABC的面积为12×2×23=23.
10.

ACD　若AM=12AB+12AC,则M是边BC的中点,故A正确;若AM=2AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则M是△ABC的重心,故C正确;若AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1,设AN=2AM,则AN=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,N,C三点共线,由图可得M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的12,故D正确.故选ACD.
11.-4　∵a,b不平行,a+14λb与-a+b平行,∴存在实数μ,使a+14λb=μ(-a+b),∴-μ=1,14λ=μ,∴λ=-4.

12.32a+12b　-12
∵M为BC的中点,∴AM=12(AB+AC)=12AB+12(AD+DC)=12a+12b+12×2a=32a+12b.
如图,设AE=xa,则b-xa=AD-AE=ED,∴当ED⊥AB时,|b-xa|最小,此时由几何知识易得x=-12.
13.B　A错误,例如b=0,推不出a∥c;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2OA+OB+3OC=0,所以2×2OM+2OD=0,即2OM=-OD,所以O是MD的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的13,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16,根据三角形面积公式可知B正确;C错误,两边平方可得-2a·b=2|a||b|,所以cos=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D错误,例如a=0,b=0,λ值不唯一.故选B.

14.4　如图,OA=a,OB=b,则BA=a-b.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则OC=a+b.由于(7+1)2+(7-1)2=42,故|OA|2+|OB|2=|BA|2.
所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB,所以▱OACB为矩形,根据矩形的对角线相等有|OCBA|=4,即|a+b|=4.
15.重心　∵动点P满足OP=13[(2-2λ)OD+(1+2λ)OC](λ∈R),且13(2-2λ)+13(1+2λ)=1,∴P,C,D三点共线.又D是AB的中点,∴CD为中线,∴点P的轨迹一定过△ABC的重心.
16.π6　934　由aMA+bMB+33cMC=aMA+bMB+33c(-MA-MB)=a-33cMA+b-33cMB=0,且MA与MB不共线,∴a-33c=b-33c=0,∴a=b=33c.在△ABC中,由余弦定理可求得cosA=32,∴A=π6.若a=3,则b=3,c=33,S△ABC=12bcsinA=12×3×33×12=934.
17.

5　如图所示,设点O为正六边形的中心,则AO=AB+AF.
①当动圆Q的圆心位于点C时,与边BC交于点P1,P1为边BC的中点.连接OP1,
则AP1=AO+OP1.∵OP1与FB共线,∴存在实数t,使得OP1=tFB,
∴AP1=AB+AF+tFB=(1+t)AB+(1-t)AF,
∴此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.
②当动圆Q的圆心位于点D时,取AD的延长线与圆Q的交点为P2,AP2=52AO=52(AB+AF)=52AB+52AF,
此时m+n=5,取得最大值.