2022版高考数学一轮复习-课时规范练21-简单的三角恒等变换新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练21 简单的三角恒等变换新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练21 简单的三角恒等变换新人教A版

年级：
姓名：

课时规范练21　简单的三角恒等变换
基础巩固组
1.函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是(　　)
A.π2 B.π C.3π2 D.2π
2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=(　　)
A.15 B.55 C.-55 D.255
3.已知2sin 2α=1cos 2α,则tan 2α=(　　)
A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0
4.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sin αcosα>0,则1-sin2α+2+2cos2α的值等于(　　)
A.95 B.75 C.65 D.3
5.已知cos2π3-2θ=-79,则sinπ6+θ的值等于(　　)
A.13 B.±13 C.-19 D.19
6.已知α∈0,π2,sin α-cos α=55,则tanα+π4=(　　)
A.-32 B.-23 C.-3 D.-13
7.(多选)下列各式中,值为12的是(　　)
A.cos2π12-sin2π12 B.tan22.5°1-tan222.5°
C.2sin 195°cos 195° D.1+cosπ62
8.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sin xsinx+π3-14的定义域为[m,n](m14)已知α∈0,π2,sinα-π4=55,则tan α=　　　　. 
12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sinα+π4,则sin 2α的值为　　　　. 
综合提升组
13.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为(　　)
A.π　[0,π] B.2π　-π4,3π4
C.π　-π8,3π8 D.2π　-π4,π4
14.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=(　　)
A.-1 B.34
C.32 D.2
15.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为　　　　. 
16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4=　　　　. 
创新应用组
17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-12的图象的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)是最小正周期为π的奇函数
B.-7π12,0是f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在区间-π3,π3上单调递增
D.先将函数y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f(x)的图象
18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R的函数f(x)满足f12=12,f'(x)+4x>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sin x)-cos 2x≥0的解集为(　　)
A.-π3+2kπ,π3+2kπ,k∈Z
B.-π6+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
C.π3+2kπ,2π3+2kπ,k∈Z
D.π6+2kπ,5π6+2kπ,k∈Z

参考答案

课时规范练21　简单的三角恒等变换
1.B　f(x)=2sinx+π6×2cosx+π62sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.
2.D　∵α∈(0,π),∴sinα>0,∵2sin2α=cos2α-1,即4sinαcosα=(1-2sin2α)-1,整理得cosα=-12sinα,代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=255.故选D.
3.C　因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.
4.A　已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sinαcosα>0,∴x<0,故x=-45,∴sinα=-35,cosα=x=-45.则1-sin2α+2+2cos2α=|cosα-sinα|+4cos2α=15+85=95.故选A.
5.B　∵cos2π3-2θ=-79,∴cosπ-π3+2θ=-cosπ3+2θ
=-cos2π6+θ
=-1-2sin2π6+θ=-79,
解得sin2π6+θ=19,
∴sinπ6+θ=±13.故选B.
6.C　∵sinα-cosα=55,则(sinα-cosα)2=15,即1-sin2α=15,得sin2α=45,∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=1+45=95,则sinα+cosα=355,又sinα-cosα=55,∴sinα=255,cosα=55,∴tanα=2,∴tanα+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.
7.BC　cos2π12-sin2π12=cos2×π12=cosπ6=32,故A错误;
tan22.5°1-tan222.5°=12·2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12,故B正确;
2sin195°cos195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=12,故C正确;
1+cosπ62=2+34=2+32≠12,故D错误.故选BC.
8.AB　f(x)=sinxsinx+π3-14
=sinx12sinx+32cosx-14
=14(1-cos2x)+34sin2x-14
=1232sin2x-12cos2x
=12sin2x-π6.
作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题.

易得m=π2,5π6≤n≤7π6或π2≤m≤5π6,n=7π6
满足题意,所以n-m的值可能为区间π3,2π3上的任意实数.故选AB.
9.-19　sinπ2+α=cosα
=cos2α2-sin2α2
=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2
=1-541+54=4-54+5=-19.
10.13　∵cos2α-π3=23,
∴12-sin2α-π6
=12-1-cos2(α-π6)2
=12cos2α-π3=12×23=13.
11.3　∵α∈0,π2,
∴α-π4∈-π4,π4,
由sinα-π4=55,得cosα-π4=255.
∴sinα=sinα-π4+π4
=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=55×22+255×22=31010,
cosα=1-sin2α=1010,∴tanα=3.
12.78　由2cos2α=sinα+π4,得2cos2α=22sinα+22cosα,
两边平方得4cos22α=12(1+sin2α),
即8(1-sin22α)=1+sin2α,
整理得(7-8sin2α)(1+sin2α)=0,
又α∈0,π2,所以sin2α=78或sin2α=-1(舍去).
13.C　f(x)=sin2x+sinxcosx
=1-cos2x2+12sin2x
=12+2222sin2x-22cos2x
=12+22sin2x-π4,
则T=2π2=π.
又∵2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.
14.D　∵sin2(α+γ)=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),
∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),
故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故选D.
15.2327　∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).
∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-179,∴sin2α=1-cos22α=429.
∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)
=-79×-13+429×223
=2327.
16.-5665　∵α,β∈3π4,π,
∴α+β∈3π2,2π,
∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=45.
又β-π4∈π2,3π4,sinβ-π4=1213,
∴cosβ-π4=-1-sin2(β-π4)
=-513.
∴cosα+π4=cos(α+β)-β-π4=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4=45×-513+-35×1213=-5665.
17.BD　函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-12=asinxcosx+cos2x-12=12asin2x+12cos2x,因为f(x)图象的一条对称轴为x=π6,所以f(0)=fπ3,即12=12a×32+12×-12,解得a=3,所以f(x)=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6.所以f(x)的最小正周期为π,但不是奇函数,故A错误;f-7π12=sin-7π6+π6=f(-π)=0,所以-7π6,0是f(x)图象的一个对称中心,故B正确;x∈-π3,π3时,2x+π6∈-π2,5π6,所以f(x)在区间-π3,π3上不是单调函数,故C错误;将函数y=2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin2x的图象,再把所得函数图象向左平移π12个单位长度,得y=sin2x+π12=sin2x+π6的图象,即函数f(x)的图象,故D正确.故选BD.
18.D　令g(x)=f(x)+2x2-1,g'(x)=f'(x)+4x>0,故g(x)在R上单调递增,且g12=f12+2×122-1=0,所以f(sinx)-cos2x=f(sinx)+2sin2x-1≥0,即g(sinx)≥g12,则sinx≥12,解得π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z.故选D.