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2022高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 命题及其关系、充要条件学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 命题及其关系、充要条件学案北师大版

年级：
姓名：

1.3　命题及其关系、充要条件
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.命题

概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断　　　　的陈述句 
特点
(1)能判断真假;(2)陈述句
分类
　　命题、　　命题 

2.四种命题及其关系
(1)四种命题的表示及相互之间的关系

(2)四种命题的真假关系
①互为逆否的两个命题　　　　(　　　　或　　　　). 
②互逆或互否的两个命题真假性　　　　　. 
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

p⇒q
p是q的　　　　　　　　条件, 
q是p的　　　　　　　　条件 
p⇒q,且qp
p是q的　　　　　　　　条件 
pq,且q⇒p
p是q的　　　　　　　　条件 
p⇔q
p是q的　　　　条件 
pq,且qp
p是q的　　　　　　　　　　　条件 

1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.
2.p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.其他情况依次类推.
3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔A⫋B;p是q的必要不充分条件⇔A⫌B;p是q的充要条件⇔A=B.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)命题“若α=π4,则tan α=1”的否命题是“若α=π4,则tan α≠1”.(　　)
(2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.(　　)
(3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假性没有关系.(　　)
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　)
(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.(　　)
2.(2020山西太原五中6月模拟,理2)设z=a+bi,且a,b∈R,“z是纯虚数”是“a=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.(2020江西上饶三模,文5)已知a,b∈R,则“a>b”是“ab>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有(　　)

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
5命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
命题及其相互关系

【例1】(1)已知原命题为“若an+an+1212(a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是(　　)
A.逆命题与否命题均为真命题
B.逆命题为假命题,否命题为真命题
C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题
D.否命题为假命题,逆否命题为真命题
思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?
解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　　)
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假

考点

充分条件、必要条件的判断(多考向探究)

考向1　定义法判断
【例2】(2020辽宁实验中学五模,文3)已知a为正数,则“a>1”是“a-1a+log2a>0”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
考向2　集合法判断
【例3】(2020山东烟台模拟,3)“a<2”是“任意x>0,a≤x+1x”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
考向3　等价转化法判断
【例4】函数f(x)=log2x,x>0,-2x+a,x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)

A.a<0 B.01
解题心得充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.
对点训练2(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-2)>0对于任意x>0恒成立,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(3)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x>-1
B.x≥0
C.x<-1或x>1
D.-1于参数的不等式(组)求解.
2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.
对点训练3已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.

变式发散1本题条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.

变式发散2本题条件不变,若¬P是¬S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.
2.充分必要关系的几种判断方法:
(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.
(2)等价法:利用p⇒q与¬q⇒¬p;q⇒p与¬p⇒¬q;p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)集合间关系法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.

1.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,也就是大前提不变.
2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.
3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.

1.3　命题及其关系、充要条件
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.真假　真　假
2.(2)①等价　同真　同假　②没有关系
3.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分又不必要
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.A　由z是纯虚数,可得a=0;当a=0时,若b=0,则z为实数0,故选A.
3.D　由a>bab>1,由ab>1a>b,故选D.
4.B　原命题“若x=5则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.
5.在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面　逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)A　(1)从原命题的真假入手,由于an+an+12为真命题.
(2)∵原命题:设a,b∈R,原命题“若x>12(a+b)2,则x>a2+b2”是假命题,
∴原命题的逆否命题是假命题.
原命题的逆命题“若x>a2+b2,则x>12(a+b)2”是真命题,
∴原命题的否命题是真命题.故选A.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.
(2)先证原命题为真,当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=a2+b2,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.
例2C　由a>1,可得a-1a+log2a>0,反之,令f(a)=a-1a+log2a=log2a-1a+1,易知函数f(a)在(0,+∞)上递增,又f(1)=0,所以要使a-1a+log2a>0,则a>1,所以“a>1”是“a-1a+log2a>0”的充要条件.故选C.
例3A　若任意x>0,a≤x+1x,则a≤x+1xmin,因为x+1x≥2,当且仅当x=1x时,等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}⫋{a|a≤2},所以“a<2”是“任意x>0,a≤x+1x”的充分不必要条件,故选A.
例4A　因为函数f(x)过点(1,0),即x=1为f(x)的一个零点,所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因为{a|a<0}⫋{a|a≤0,或a>1},故选A.
对点训练2(1)C　(2)B　(3)C　(1)设f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0,由二次函数的单调性可得函数f(x)为增函数,则若a>b,则f(a)>f(b),即a|a|>b|b|,反之也成立,所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选C.
(2)若p成立,则a=4x-2x=2x-122-14,所以a≥-14,即a的取值范围为-14,+∞;若q成立,则x+a-2>1对任意x>0恒成立,所以a>3-x对任意x>0恒成立,则a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋-14,+∞,所以p是q的必要不充分条件,故选B.
(3)不等式1+1x>0⇔x+1x>0⇔(x+1)x>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).A,B,C,D四个选项中,只有C对应的集合为(-∞,-1)∪(0,+∞)的真子集.故选C.
例5-12,43　∵13m-1,m+1),
即m-1<13,m+1≥12或m-1≤13,m+1>12,
∴-12≤m<43,或-1210或1-m<-2,1+m≥10,
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).